Komplexes Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich lerne gerade für eine Klausur und es ist zum Verzweifeln, da ich das Gefühl habe nichts zu können... Ich habe auch schon versucht zu dem Thema zu googlen, aber irgendwie finde ich nichts, was mir wirklich weiterhilt...
Ich habe hier zwei Kurvenintegrale, die mal in einer alten Klausur vorkamen und von denen ich daher denke, dass es wichtig ist, dass ich verstehe, was ich dabei machen muss!
Zunächst einmal das erste Kurvenintegral:
[mm] \integral_{\partial K_2 (0)}^{}\overline{z}+ \bruch{1}{z(1+z \overline{z})}{dz}
[/mm]
Bereits an der Herangehensweise scheiter ich... Ich habe überlegt, dass man aus dem zweiten Summanden im Integranden durch Partialbruchzerlegung erstmal zwei Brüche machen könnte. Aber dann scheitert es bereits wieder in der Ausführung...
Auch weiß ich noch nicht so ganz wie ich mit dem Kreisrand umgehen soll... Also der Kreis hat ja einen Radius von 2 um 0 herum. Muss ich dann das Integral von -4 [mm] \pi [/mm] bis 4 [mm] \pi [/mm] betrachten?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte das Integral zu lösen, am liebsten mit Erklärung! :)
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Die Kurve über die Du integrieren sollst hat die Parameterdarstellung
[mm] c(t)=2e^{it}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi
[/mm]
Nun verwende die Definition des Kurvenintegrals
Alles wird ganz einfach
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
Sehe ich das richtig, dass die Kurve dann immer die Parameterdarstellung [mm] re^{it} [/mm] hat? und immer für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] ?
Ich versuche es als mal mit [mm] c(t)=2e^{it}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] .
Mit der Definition des Kurvenintegrals habe ich dann
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(\overline{2e^{it}} + \bruch{1}{2e^{it}(1+2e^{it}*\overline{2e^{it}})}) 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{1}{2} e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+(2e^{it})^2 *\bruch{1}{2} e^{-it}}) 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{1}{2} e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+2e^{it}}) 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{1}{2} e^{-it} + \bruch{1}{4} e^{-it}) 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{3}{4} e^{-it} * 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{3}{2} i dt} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] i [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{1 dt} [/mm] = 3 i [mm] \pi
[/mm]
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
>
> Sehe ich das richtig, dass die Kurve dann immer die
> Parameterdarstellung [mm]re^{it}[/mm] hat? und immer für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] ?
Für einen Kreis um den Ursprung mit Radius r
Das hängt doch sonst von der Kurve ab ...
> Ich versuche es als mal mit [mm]c(t)=2e^{it},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm]
> 2 [mm]\pi[/mm] .
> Mit der Definition des Kurvenintegrals habe ich dann
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\overline{2e^{it}} + \bruch{1}{2e^{it}(1+2e^{it}*\overline{2e^{it}})}) 2ie^{it} dt}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{1}{2} e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+(2e^{it})^2 *\bruch{1}{2} e^{-it}}) 2ie^{it} dt}[/mm]
Es ist doch [mm] $\overline [/mm] 2=2$
Also [mm] $\overline{2e^{it}}=2e^{-it}$
[/mm]
Damit auch [mm] $2e^{it}\cdot{}\overline{2e^{it}}=4$
[/mm]
Rechne damit nochmal nach ...
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{1}{2} e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+2e^{it}}) 2ie^{it} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{1}{2} e^{-it} + \bruch{1}{4} e^{-it}) 2ie^{it} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{3}{4} e^{-it} * 2ie^{it} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{3}{2} i dt}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> i [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{1 dt}[/mm] = 3 i [mm]\pi[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 17.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
> Hallo,
>
>
> > Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
> >
> > Sehe ich das richtig, dass die Kurve dann immer die
> > Parameterdarstellung [mm]re^{it}[/mm] hat? und immer für 0 [mm]\le[/mm] t
> [mm]\le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] ?
>
> Für einen Kreis um den Ursprung mit Radius r
>
Also für einen Kreis um [mm] z_0 [/mm] mit Radius r ist die Parametrisierung dann immer t [mm] \mapsto z_0 [/mm] + [mm] re^{it}?
[/mm]
>
> Das hängt doch sonst von der Kurve ab ...
Sorry, ich meinte den Kreis... Für eine Strecke von [mm] z_0 [/mm] nach [mm] z_1 [/mm] ist die Parameterdarstellung immer t [mm] \mapsto (1-t)z_0+tz_1, [/mm] sehe ich das richtig?
>
> > Ich versuche es als mal mit [mm]c(t)=2e^{it},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm]
> > 2 [mm]\pi[/mm] .
> > Mit der Definition des Kurvenintegrals habe ich dann
> > [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\overline{2e^{it}} + \bruch{1}{2e^{it}(1+2e^{it}*\overline{2e^{it}})}) 2ie^{it} dt}[/mm]
>
> > = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{1}{2} e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+(2e^{it})^2 *\bruch{1}{2} e^{-it}}) 2ie^{it} dt}[/mm]
>
> Es ist doch [mm]\overline 2=2[/mm]
>
> Also [mm]\overline{2e^{it}}=2e^{-it}[/mm]
>
> Damit auch [mm]2e^{it}\cdot{}\overline{2e^{it}}=4[/mm]
>
> Rechne damit nochmal nach ...
Danke für die Hinweise! Also auf ein Neues:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(\overline{2e^{it}} + \bruch{1}{2e^{it}(1+2e^{it}*\overline{2e^{it}})}) 2ie^{it} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(2e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+(2e^{it})^{2}*2e^{-it}}) 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(2e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+8e^{it}}) 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(2e^{-it} + \bruch{1}{10e^{it}}) 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{21}{10}e^{-it}* 2ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{21}{5} i dt} [/mm] = [mm] \bruch{21}{5} [/mm] i * [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{1 dt} [/mm] = [mm] \bruch{42}{5} [/mm] i [mm] \pi
[/mm]
So richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> >
> > > Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
> > >
> > > Sehe ich das richtig, dass die Kurve dann immer die
> > > Parameterdarstellung [mm]re^{it}[/mm] hat? und immer für 0 [mm]\le[/mm] t
> > [mm]\le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] ?
> >
> > Für einen Kreis um den Ursprung mit Radius r
> >
>
> Also für einen Kreis um [mm]z_0[/mm] mit Radius r ist die
> Parametrisierung dann immer t [mm]\mapsto z_0[/mm] + [mm]re^{it}?[/mm]
>
> >
> > Das hängt doch sonst von der Kurve ab ...
>
> Sorry, ich meinte den Kreis... Für eine Strecke von [mm]z_0[/mm]
> nach [mm]z_1[/mm] ist die Parameterdarstellung immer t [mm]\mapsto (1-t)z_0+tz_1,[/mm]
> sehe ich das richtig?
> >
> > > Ich versuche es als mal mit [mm]c(t)=2e^{it},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm]
> > > 2 [mm]\pi[/mm] .
> > > Mit der Definition des Kurvenintegrals habe ich dann
> > > [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\overline{2e^{it}} + \bruch{1}{2e^{it}(1+2e^{it}*\overline{2e^{it}})}) 2ie^{it} dt}[/mm]
> >
> > > = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\bruch{1}{2} e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+(2e^{it})^2 *\bruch{1}{2} e^{-it}}) 2ie^{it} dt}[/mm]
> >
> > Es ist doch [mm]\overline 2=2[/mm]
> >
> > Also [mm]\overline{2e^{it}}=2e^{-it}[/mm]
> >
> > Damit auch [mm]2e^{it}\cdot{}\overline{2e^{it}}=4[/mm]
> >
> > Rechne damit nochmal nach ...
>
> Danke für die Hinweise! Also auf ein Neues:
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(\overline{2e^{it}} + \bruch{1}{2e^{it}(1+2e^{it}*\overline{2e^{it}})}) 2ie^{it} dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(2e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+(2e^{it})^{2}*2e^{-it}}) 2ie^{it} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(2e^{-it} + \bruch{1}{2e^{it}+8e^{it}}) 2ie^{it} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{(2e^{-it} + \bruch{1}{10e^{it}}) 2ie^{it} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{21}{10}e^{-it}* 2ie^{it} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{21}{5} i dt}[/mm] = [mm]\bruch{21}{5}[/mm]
> i * [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{1 dt}[/mm] = [mm]\bruch{42}{5}[/mm] i [mm]\pi[/mm]
>
>
> So richtig?
Ja
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 So 17.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 17.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
Ich habe das ganze jetzt noch an einem weiteren Kurvenintegral versucht. Und zwar soll folgendes Kurvenintegral berechnet werden:
[mm] \integral_{[1-i,1+i]}^{}{\overline{z}^{1/3} dz}, [/mm] wobei [mm] (.)^{1/3} [/mm] den Hauptzweig der dritten Wurzel bezeichnet
Zunächst habe ich mir wieder die Parameterdarstellung überlegt
c=[1-i,1+i]: [0,1] [mm] \to \IC, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] (1-t)(1-i) + t(1+i) = 1-i+2it
c'(t) = 2i
Mit der Definition des Kurvenintegrals folgt nun
[mm] \integral_{0}^{1}{\overline{(1-i+2it)}^{1/3} 2i dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{ \overline{(1+i*(2t-1))}^{1/3}2i dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{ (1-i*(2t-1))^{1/3}2i dt}
[/mm]
Nun stecke ich allerdings und komme nicht weiter... Ist das überhaupt bis hierher richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 So 17.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
bis da richtig. wenn du die stammfkt nicht direkt siehst substituiere u=1-i+2it; du=.. und integriere.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 17.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
> Hallo
> bis da richtig. wenn du die stammfkt nicht direkt siehst
> substituiere u=1-i+2it; du=.. und integriere.
> Gruss leduart
Blöde Frage, aber müsste ich dann nicht u=1+i-2ti substituieren?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Hallo
> > bis da richtig. wenn du die stammfkt nicht direkt
> siehst
> > substituiere u=1-i+2it; du=.. und integriere.
> > Gruss leduart
>
> Blöde Frage, aber müsste ich dann nicht u=1+i-2ti
> substituieren?
Jo, das war wohl ein Verschreiber ...
Gruß
schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 17.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
Danke :)
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\overline{(1-i+2it)}^{1/3} 2i dt} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{0}^{1}{ \overline{(1+i\cdot{}(2t-1))}^{1/3}2i dt} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{0}^{1}{ (1-i\cdot{}(2t-1))^{1/3}2i dt} [/mm] $
Das war das, was ich bisher schon hatte. Mit Substitution u=1+i-2ti, du=-2i dt [mm] \gdw [/mm] dt= [mm] \bruch{du}{-2i} [/mm]
[mm] =\integral_{1+i}^{1-i}{u^{1/3} 2i \bruch{du}{-2i}} [/mm] = - [mm] \integral_{1+i}^{1-i}{u^{1/3} du} [/mm] = [mm] -(\bruch{3}{4} (1-i)^{4/3} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4} (1+i)^{4/3}) [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4} (1-i)^{4/3} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} (1+i)^{4/3}
[/mm]
Lässt sich das Ergebnis noch vereinfachen?
Grundsätzlich müsste ich jeweils auch noch begründen, dass die Integrale wohldefiniert sind, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke :)
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\overline{(1-i+2it)}^{1/3} 2i dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \overline{(1+i\cdot{}(2t-1))}^{1/3}2i dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{ (1-i\cdot{}(2t-1))^{1/3}2i dt}[/mm]
>
> Das war das, was ich bisher schon hatte. Mit Substitution
> u=1+i-2ti, du=-2i dt [mm]\gdw[/mm] dt= [mm]\bruch{du}{-2i}[/mm]
> [mm]=\integral_{1+i}^{1-i}{u^{1/3} 2i \bruch{du}{-2i}}[/mm]
Was ist denn ein Integral in komplexen Grenzen?
Ich würde unbestimmt rechnen und dann resubstituieren ...
[mm]-\int{u^{1/3} \ du}=-\frac{3}{4}u^{4/3}=-\frac{3}{4}(1-2it+i)[/mm]
Und das in den Grenzen [mm]t=0[/mm] bis [mm]t=1[/mm]
> = - [mm]\integral_{1+i}^{1-i}{u^{1/3} du}[/mm] = [mm]-(\bruch{3}{4} (1-i)^{4/3}[/mm]
> - [mm]\bruch{3}{4} (1+i)^{4/3})[/mm] = [mm]-\bruch{3}{4} (1-i)^{4/3}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{4} (1+i)^{4/3}[/mm]
>
> Lässt sich das Ergebnis noch vereinfachen?
Bestimmt, du könntest mal die Potenzen ausrechnen [mm](1\pm i)^4[/mm] ...
DERIVE spuckt als Vereinfachung aus: [mm]\frac{3\sqrt 3\cdot{}2^{2/3}}{4}i[/mm] aus ...
>
> Grundsätzlich müsste ich jeweils auch noch begründen,
> dass die Integrale wohldefiniert sind, oder?
Du kannst ja erstmal unbestimmt rechnen und dann resubst.
Integrale mit komplexen Grenzen sind mir noch nicht über den Weg gelaufen - zumindest erinnere ich mich nicht daran ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 17.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank :)
|
|
|
|
