Komplexes Integral lösen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:14 Mi 13.06.2012 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechne das reelle Integral
$\int_{-\infty}^{0} \bruch{x^\mu}{\left(x-ic_1)^2(x-ic_2)^2}$
mit Hilfe eines geschlossenen Weges im Komplexen und unter der Verwendung des Residuensatzes. $-1<\mu<3,\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}$ |
Hallo liebes Forum.
Irgendwie verstehe warum das Integral nicht 0 ist (habs mal zur Probe mit Mathematika gerechnet).
Für die Integration im Komplexen würde ich einfach einen Halbkreis dazu nehmen (siehe. Skizze) und dann wie gewohnt zeigen, dass der Beitrag dieses Halbkreises verschwindet. Aber dann hab ich doch ein geschlossenes Integral in einem holomorphen Gebiet der Funktion, das somit dann doch 0 sein müsste, die Pole liegen ja beide auf der Imaginären Achse (je nach dem welches Vorzeichen die Konstanten haben oberhalb oder unterhalb der Reellen achse).
Aber irgendwo scheine ich ja einen Denkfehler zu machen, weiß nur leider nicht wo..
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank schonmal :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Do 14.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne das reelle Integral
> [mm]\int_{-\infty}^{0} \bruch{x^\mu}{\left(x-ic_1)^2(x-ic_2)^2}[/mm]
>
> mit Hilfe eines geschlossenen Weges im Komplexen und unter
> der Verwendung des Residuensatzes. [mm]-1<\mu<3,\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}[/mm]
>
> Hallo liebes Forum.
>
> Irgendwie verstehe warum das Integral nicht 0 ist (habs mal
> zur Probe mit Mathematika gerechnet).
> Für die Integration im Komplexen würde ich einfach einen
> Halbkreis dazu nehmen (siehe. Skizze) und dann wie gewohnt
> zeigen, dass der Beitrag dieses Halbkreises verschwindet.
> Aber dann hab ich doch ein geschlossenes Integral in einem
> holomorphen Gebiet der Funktion, das somit dann doch 0 sein
> müsste, die Pole liegen ja beide auf der Imaginären Achse
> (je nach dem welches Vorzeichen die Konstanten haben
> oberhalb oder unterhalb der Reellen achse).
>
> Aber irgendwo scheine ich ja einen Denkfehler zu machen,
> weiß nur leider nicht wo..
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Die Funktion [mm] $x^\mu [/mm] = [mm] \exp(\mu \ln [/mm] x)$ ist für nichtganzzahliges [mm] $\mu$ [/mm] im Punkt 0 nicht holomorph, und damit kannst du für den Weg in deiner Zeichung des Cauchyschen Integralsatz nicht anwenden; mit der üblichen KOnvention für den Logartihmus darfst du die negative reelle Achse nicht kreuzen.
Du müsstest also zunächst ein kleines [mm] $\varepsilon$ [/mm] als obere Grenze annehmen und den geraden Teil des Weges ein wenig oberhalb der negativen reellen Achse führen.
Ich bin mir außerdem nicht sicher, dass das Kurvenintegral über deinen Halbkreis von Radius R für [mm] $R\to\infty$ [/mm] verschwindet. Denn das funktioniert nur, wenn der Nenner für große R wie [mm] $R^4$ [/mm] anwächst, was mir inder Nähe des Ursprungs nicht der Fall zu sein scheint.
Mir fällt aber auch im Moment keine geschickte Wahl für den Integrationsweg ein - ich setze die Frage mal auf teilweise beantwortet
Viele Grüße,
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 15.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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