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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:54 Fr 26.10.2012 | | Autor: | cyawik |
| Aufgabe | | Man berechne [mm] \integral_{|z-1|=2}{}{\frac{\cos z}{z^3} dz}. [/mm] |
Hallo zusammen
Ich bin seit einer Weile an dieser Aufgabe. Nach dem ich nicht auf die Lösung gekommen bin, habe ich schliesslich im Buch von Jänich (Funktionentheorie) eine ähnliche Aufgabe gefunden. Dort steht als Tipp: "Später wird der sogenannte Residuensatz für solche Berechnungen zuständig sein, hier ist aber einfach gemeint, die Cauchysche Formel für die Taylorkoeffizienten zu benutzen und sich aus Kapitel 2 die Berechtigung für die Verwendung des exzentrischen Integrationsweges zu holen."
Zu Info: Kapitel 2 handelt vom Cauchyschen Integralsatz für Bilder von Rechtecken.
Da die Aufgabe etwa genau an der Stelle auftritt, an der wir uns gerade in der Vorlesung befinden (noch kein Residuensatz oder ähnliches behandelt), vermute ich, dass die Aufgabe genau so gelöst werden sollte.
Nur leider verstehe ich den Tipp aus dem Buch von Jänich nicht. Kann mir jemand etwas konkretere Tipps geben? Wie ist das mit dem "exzentrischen Integrationsweg" gemeint?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Grüsse
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 26.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wahrscheinlich hat man euch gesagt, dass
[mm] \integral_{C}{f(z) dz}nichts [/mm] anderes ist als
[mm] \integral_{0}^{t}{f(c(t))*c'(t) dt}
[/mm]
wobei c(t) die parametrisierung der Kurve C, hier deines Kreises um z=1 ist,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Fr 26.10.2012 | | Autor: | cyawik |
Ja genau. Hier lautet die Parametrisierung [mm] \gamma: [0,2\pi] \to \IC, t\mapsto 1+2e^{i t}. [/mm] Setzt man dies entsprechend ein, erhält man
[mm] \integral_{0}^{2Pi}{\frac{\cos(1+2e^{i t})}{(1+2e^{i t})^3} * 2ie^{i t} dt}.
[/mm]
Aber so wie ich das sehe, stellt das keine Vereinfachung der Aufgabe dar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 27.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja genau. Hier lautet die Parametrisierung [mm]\gamma: [0,2\pi] \to \IC, t\mapsto 1+2e^{i t}.[/mm]
> Setzt man dies entsprechend ein, erhält man
> [mm]\integral_{0}^{2Pi}{\frac{\cos(1+2e^{i t})}{(1+2e^{i t})^3} * 2ie^{i t} dt}.[/mm]
>
> Aber so wie ich das sehe, stellt das keine Vereinfachung
> der Aufgabe dar.
Das stimmt.
Setze f(z)=cos(z) und [mm] K=\{z \in \IC: |z-1|<2\}.
[/mm]
Die Cauchysche Integralformel für die Ableitungen besagt:
$ [mm] f^{(n)}(w)= \bruch{n!}{2 \pi i}\integral_{ \partial K}^{}{\bruch{f(z)}{(z-w)^{n+1}} dz} [/mm] $ für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm] und alle w [mm] \in [/mm] K.
Werte das mal aus für n=2 und w=0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 So 28.10.2012 | | Autor: | cyawik |
Vielen Dank Fred, dank deiner Hilfe bin ich jetzt auf die richtige Lösung gestossen! Ich werde sie später einmal posten, gerade habe ich leider keine Zeit. Aber ich wollte es euch wissen lassen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Fr 26.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man berechne [mm]\integral_{|z-1|=2}{}{\frac{\cos z}{z^3} dz}.[/mm]
>
> Hallo zusammen
>
> Ich bin seit einer Weile an dieser Aufgabe. Nach dem ich
> nicht auf die Lösung gekommen bin, habe ich schliesslich
> im Buch von Jänich (Funktionentheorie) eine ähnliche
> Aufgabe gefunden. Dort steht als Tipp: "Später wird der
> sogenannte Residuensatz für solche Berechnungen zuständig
> sein, hier ist aber einfach gemeint, die Cauchysche Formel
> für die Taylorkoeffizienten zu benutzen und sich aus
> Kapitel 2 die Berechtigung für die Verwendung des
> exzentrischen Integrationsweges zu holen."
> Zu Info: Kapitel 2 handelt vom Cauchyschen Integralsatz
> für Bilder von Rechtecken.
Nicht nur. Zumindest in meiner Ausgabe des Buches wird dann auf Kreisringe und Kreisscheiben verallgemeinert.
Im folgenden Kapitel wird dann die Cauchysche Integralformel für die Taylorkoeffizienten einer holomorphen Funktion [mm] f(z)=\summe_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n$ [/mm] mit Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] der Taylorreihe bewiesen:
[mm] c_n = \bruch{1}{2\pi i} \integral_{|z-z_0|=r} \bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz [/mm]
für [mm] $0
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:23 Sa 27.10.2012 | | Autor: | cyawik |
Hallo Rainer
Sorry, hätte erwähnen müssen, dass mir die Formel für die Koeffizienten bekannt ist. Aber wie ich diese nun auf das Problem anwenden soll, will mir nicht so recht einleuchten. Hast du mir da vielleicht einen Ansatz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mo 29.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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