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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 05.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Berechne für a [mm] \in \IC* [/mm] mit |a| ungleich 1
a) [mm] \integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{1}{(z-a)(z-1/a)} dz}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{1}{1-2acos(t)+a^2} dt} [/mm] |
Hallo, hier mal meine Überlegungen (bisher haben wir nur die Cauchy-Integralformel zur Verfügung):
zu a) Ich denke, man muss eine Fallunterscheidung machen mit |a|>1 und |a|<1
Die beiden Nullstellen des Nenners sind ja [mm] z_1=a [/mm] und [mm] z_2=1/a [/mm] , die sind auf jeden Fall ungleich n.V.
Fall 1: sei |a|>1, dann ist [mm] z_1 \not\in D_1(0) [/mm] und [mm] z_2 \in D_1(0). [/mm] Die Fkt f: [mm] \IC [/mm] \ [mm] {z_1} [/mm] --> [mm] \IC [/mm] , z --> [mm] \bruch{1}{z-z_1} [/mm] ist holomorph. Also folgt mit der CIF: [mm] \integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{1}{(z-a)(z-1/a)} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] f(1/a)=\bruch{2 \pi i a}{1-a^2}
[/mm]
Fall 2 würde ja analog gehen.
zu b) Hier habe ich versucht a) zu verwenden:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{1}{1-2acos(t)+a^2} dt} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{ai}\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{iexp(it)}{(exp(it)-a)(exp(it)-1/a)} dt} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{ai}\integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{1}{(z-a)(z-1/a)} dz}
[/mm]
= [mm] \bruch{-2 \pi}{1-a^2}
[/mm]
Muss ich hier dann ebenfalls eine Fallunterscheidung machen?
Ist das sonst soweit ok oder zumindest was Brauchbares dabei?
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Hallo Trikolon,
> Berechne für a [mm]\in \IC*[/mm] mit |a| ungleich 1
> a) [mm]\integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{1}{(z-a)(z-1/a)} dz}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{1}{1-2acos(t)+a^2} dt}[/mm]
>
> Hallo, hier mal meine Überlegungen (bisher haben wir nur
> die Cauchy-Integralformel zur Verfügung):
>
> zu a) Ich denke, man muss eine Fallunterscheidung machen
> mit |a|>1 und |a|<1
>
> Die beiden Nullstellen des Nenners sind ja [mm]z_1=a[/mm] und
> [mm]z_2=1/a[/mm] , die sind auf jeden Fall ungleich n.V.
>
Nach Voraussetzung ist nur [mm]\vmat{a} \not= 1, \ a \in \IC[/mm]
Damit sind auch die Beträge der Nullstellen ungleich 1.
> Fall 1: sei |a|>1, dann ist [mm]z_1 \not\in D_1(0)[/mm] und [mm]z_2 \in D_1(0).[/mm]
> Die Fkt f: [mm]\IC[/mm] \ [mm]{z_1}[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , z --> [mm]\bruch{1}{z-z_1}[/mm] ist
> holomorph. Also folgt mit der CIF: [mm]\integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{1}{(z-a)(z-1/a)} dz}=[/mm]
> 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]f(1/a)=\bruch{2 \pi i a}{1-a^2}[/mm]
> Fall 2 würde ja
> analog gehen.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b) Hier habe ich versucht a) zu verwenden:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{1}{1-2acos(t)+a^2} dt}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{ai}\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{iexp(it)}{(exp(it)-a)(exp(it)-1/a)} dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{-1}{ai}\integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{1}{(z-a)(z-1/a)} dz}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-2 \pi}{1-a^2}[/mm]
>
> Muss ich hier dann ebenfalls eine Fallunterscheidung
> machen?
>
Ja, siehe a)
> Ist das sonst soweit ok oder zumindest was Brauchbares
> dabei?
>
Das ist alles ok.
Gruss
MathePower
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