Komplexer Exponentialansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Sa 12.11.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die reele homogene DGL
y''-2y'+5y=0
a) Finden Sie die zwei Lösungen der Form [mm] e^{\lambda*x} [/mm] mit [mm] \lambda \in \IC.
[/mm]
b) Jede Linearkombination zweier Lösungen mit komplexen Koeffizienten ist wieder eine Lösung. Ermitteln Sie durch Bildung von Linearkombinationen der gefundenen Lösungen mit komplexen Koeffizienten zwei linear unabhängige Lösungen, die aber rein reell sind. (!)
Hinweis: Zwei, von der Nullfunktion verschiedene und auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Funktionen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine Konstante [mm] \gamma [/mm] gibt, so dass [mm] f_{1}(t)=\gamma*f_{2}(t) [/mm] für alle Stellen t [mm] \in \IR. [/mm] |
Hallo, also ich hab mich erstmal an a) versucht und folgendes aufgeschrieben:
a) Dies ist eine homogene, lineare DGL 2. Ordnung.
Lösen mit Exponentialansatz:
Lösung hat die Form [mm] y(x)=e^{\lambda*x}
[/mm]
Einsetzen in DGL:
[mm] \lambda^2*e^{\lambda*x}-2*\lambda*e^{\lambda*x}+5*e^{\lambda*x}=0
[/mm]
[mm] e^{\lambda*x}(\lambda^2-2*\lambda+5)=0
[/mm]
[mm] e^{\lambda*x} [/mm] ist [mm] \not= [/mm] 0 für alle x, also:
[mm] \lambda^2-2*\lambda+5=0
[/mm]
Lösen mit pq-Formel:
[mm] \lambda_{1/2}= [/mm] 1 [mm] \pm \wurzel{1-5}
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=1+2i [/mm] und [mm] \lambda_{2}=1-2i
[/mm]
Also sind [mm] e^{(1+2i)x} [/mm] und [mm] e^{(1-2i)x} [/mm] Lösungen der DGL.
[mm] y(x)=c_{1}*e^{(1+2i)x}+c_{2}*e^{(1-2i)x} [/mm] mit [mm] c_{1},c_{2} \in \IR
[/mm]
Müsste richtig sein oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> Gegeben ist die reele homogene DGL
> y''-2y'+5y=0
> a) Finden Sie die zwei Lösungen der Form [mm]e^{\lambda*x}[/mm]
> mit [mm]\lambda \in \IC.[/mm]
> b) Jede Linearkombination zweier
> Lösungen mit komplexen Koeffizienten ist wieder eine
> Lösung. Ermitteln Sie durch Bildung von
> Linearkombinationen der gefundenen Lösungen mit komplexen
> Koeffizienten zwei linear unabhängige Lösungen, die aber
> rein reell sind. (!)
>
> Hinweis: Zwei, von der Nullfunktion verschiedene und auf
> ganz [mm]\IR[/mm] definierte Funktionen [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}[/mm] sind genau
> dann linear unabhängig, wenn es keine Konstante [mm]\gamma[/mm]
> gibt, so dass [mm]f_{1}(t)=\gamma*f_{2}(t)[/mm] für alle Stellen t
> [mm]\in \IR.[/mm]
> Hallo, also ich hab mich erstmal an a) versucht
> und folgendes aufgeschrieben:
> a) Dies ist eine homogene, lineare DGL 2. Ordnung.
> Lösen mit Exponentialansatz:
> Lösung hat die Form [mm]y(x)=e^{\lambda*x}[/mm]
> Einsetzen in DGL:
>
> [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}-2*\lambda*e^{\lambda*x}+5*e^{\lambda*x}=0[/mm]
> [mm]e^{\lambda*x}(\lambda^2-2*\lambda+5)=0[/mm]
> [mm]e^{\lambda*x}[/mm] ist [mm]\not=[/mm] 0 für alle x, also:
> [mm]\lambda^2-2*\lambda+5=0[/mm]
> Lösen mit pq-Formel:
> [mm]\lambda_{1/2}=[/mm] 1 [mm]\pm \wurzel{1-5}[/mm]
> [mm]\lambda_{1}=1+2i[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=1-2i[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also sind [mm]e^{(1+2i)x}[/mm] und [mm]e^{(1-2i)x}[/mm] Lösungen der DGL.
Das ist ein (komplexes) Fundamentalsystem - so nennt man das wohl
> [mm]y(x)=c_{1}*e^{(1+2i)x}+c_{2}*e^{(1-2i)x}[/mm]
Das ist die allg. Lsg. der Dgl.
> mit [mm]c_{1},c_{2} \in \IR[/mm]
Nein, deine Lösung ist doch komplex, du musst geeignete [mm]c_1,c_2[/mm] finden, so dass du eine rein reelle Lsg. bekommst.
>
> Müsste richtig sein oder?
Nicht ganz
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Sa 12.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok dann sind [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} \in \IC [/mm] ja?
Gruß David
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Hallo nochmal,
> ok dann sind [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2} \in \IC[/mm] ja?
Genau so ist es!
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 12.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok dann ist ja a) erledigt. Jetzt die Aufgabe b)...
Man muss ja die Lösungen linear kombinieren und dan ergeben sich neue Lösungen. Addiere ich jetz einfach die Lösungen und dann ergibt sich ne neue Lösung?
Also so: [mm] c_{1}*e^{(1+2i)x}+c_{2}*e^{(1-2i)x}?
[/mm]
Aber es gibt ja auch unendlich viele Möglichkeiten die Lösungen zu kombinieren oder?
Gruß David
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Hallo nochmal,
ich hatte a) und b) etwas durcheinandergewürfelt und mich in meinen Antworten schon auf b) bezogen 
> ok dann ist ja a) erledigt. Jetzt die Aufgabe b)...
> Man muss ja die Lösungen linear kombinieren und dan
> ergeben sich neue Lösungen. Addiere ich jetz einfach die
> Lösungen und dann ergibt sich ne neue Lösung?
> Also so: [mm]c_{1}*e^{(1+2i)x}+c_{2}*e^{(1-2i)x}?[/mm]
Mit [mm]c_1,c_2\in\IC[/mm] ist das die allg. (komplexe) Lösung.
In b) musst du durch geschickte Wahl von [mm]c_1,c_2[/mm] eine reelle Lösung konstruieren.
Schreibe dazu erstmal diese [mm]e^{(1\pm 2i)x[/mm]-Terme um in die Sinus-Cosinus-Darstellung. Und schreibe mal [mm] $c_1=a+bi$ [/mm] ...
Dann kannst du möglicherweise schon durch scharfes Hinsehen erkennen, wie du [mm]c_2[/mm] wählen musst, damit alle komplexen Terme verschwinden ...
Es wird [mm] $c_1$ [/mm] sehr ähneln
> Aber es gibt ja auch unendlich viele Möglichkeiten die
> Lösungen zu kombinieren oder?
Jo, es ist [mm]\left\{e^{(1+2i)x},e^{(1-2i)x}\right\}[/mm] ein (komplexes) Fundamentalsystem, jede komplexe LK der beiden ist eine (komplexe) Lösung der Dgl.
Das hast du ganz oben stehen. Nun sollst du in b) daraus ein reelles System "basteln".
> Gruß David
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Sa 12.11.2011 | | Autor: | David90 |
Achso also benutzen wir die eulerische Identität:)
es gilt ja:
[mm] cos(\gamma*x)+i*sin(\gamma*x) [/mm] = [mm] e^{\gamma*i*x}
[/mm]
aber was ist denn in unserem Beispiel [mm] \gamma?
[/mm]
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] $e^{(1+2i)x}=e^x*e^{2ix}=e^x(cos(2x)+isin(2x))$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Di 15.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok also es steht ja da:
[mm] y(x)=c_{1}*e^{(1+2i)x}+c_{2}*e^{(1-2i)x} [/mm] mit [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} \in \IC
[/mm]
das kann man umformen in:
[mm] c_{1}*e^x(cos(2x)+isin(2x))+c_{2}*e^x(cos(-2x)+isin(-2x))
[/mm]
und wegen den Additionstheoremen:
[mm] c_{1}*e^x(cos(2x)+isin(2x))+c_{2}*e^x(cos(2x)-isin(2x))
[/mm]
umgeformt:
[mm] e^x(c_{1}+c_{2})cos(2x)+i*e^x(c_{1}-c_{2})sin(2x)
[/mm]
und jetzt muss man die Koeffizienten doch so wählen, dass der imaginäre Teil rausfällt oder? Das ist ja dann für [mm] c_{1}=c_{2}...Ist [/mm] das schon die Lösung?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok also es steht ja da:
> [mm]y(x)=c_{1}*e^{(1+2i)x}+c_{2}*e^{(1-2i)x}[/mm] mit [mm]c_{1}[/mm] und
> [mm]c_{2} \in \IC[/mm]
> das kann man umformen in:
> [mm]c_{1}*e^x(cos(2x)+isin(2x))+c_{2}*e^x(cos(-2x)+isin(-2x))[/mm]
> und wegen den Additionstheoremen:
> [mm]c_{1}*e^x(cos(2x)+isin(2x))+c_{2}*e^x(cos(2x)-isin(2x))[/mm]
> umgeformt:
> [mm]e^x(c_{1}+c_{2})cos(2x)+i*e^x(c_{1}-c_{2})sin(2x)[/mm]
> und jetzt muss man die Koeffizienten doch so wählen, dass
> der imaginäre Teil rausfällt oder? Das ist ja dann für
> [mm]c_{1}=c_{2}...Ist[/mm] das schon die Lösung?
Die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] sind so zu wählen, daß
[mm]c_{1}+c_{2} \in \IR[/mm],
[mm]i*\left(c_{1}-c_{2}\right) \in \IR[/mm]
gilt.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 15.11.2011 | | Autor: | David90 |
Mmhhh naja man müsste es ja irgendwie so anstellen, dass für [mm] c_{1}-c_{2} [/mm] irgendetwas mit i st denn dann steht im hinteren Term [mm] i^2 [/mm] und das ist ja wieder was Reelles oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> Mmhhh naja man müsste es ja irgendwie so anstellen, dass
> für [mm]c_{1}-c_{2}[/mm] irgendetwas mit i st denn dann steht im
> hinteren Term [mm]i^2[/mm] und das ist ja wieder was Reelles oder?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 15.11.2011 | | Autor: | David90 |
Also ich würd sagen man wählt zum Beispiel für [mm] c_{1}=2i [/mm] und für [mm] c_{2}=-2i, [/mm] dann heben diese sich vorne auf und hinten entsteht ein [mm] i^2 [/mm] und damit was Relles. Genauso würde als zweite Lösung doch [mm] c_{1}=-i [/mm] und für [mm] c_{2}=i [/mm] gehen oder? Anders kann ich mir das nicht vorstellen :/
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Mi 16.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du wählst doch einfach c1+c2=! reell
c1-c2=0
umd den cos zu haben,
für sin nimmst du c'1-c'2 =i
dann hast du [mm] e^t [/mm] cos2t und e^tsin2t wieder ein - diesmal reelles- Fundamentalsystem
Gruss leduart
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