Komplexe zahlen und Geometrie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Bei festem [mm] a\in\IC [/mm] ist durch die Gleichung z=z(t)=t*a [mm] (a=\tau*e^{i\phi} [/mm] , [mm] t\in\IR) [/mm] eine Punktmenge g in der Gaußschen Zahlenebene gegeben. Welche Kurve wird durch g dargestellt? Was für eine charakteristische Eigenschaft besitzen alle diese durch unterschiedliches a entstehenden Kurven?
b) Ein weiterer Punkt [mm] w=u+iv=p*e^{i\psi} [/mm] ist gegeben, dessen Spiegelbild w`_g an g in exponentieller Schreibweise gesucht ist.
c) Eine Gerade h ist durch [mm] z(t)=z_0+ta (t\in\IR) [/mm] gegeben. Führen Sie den Spiegelpunkt w`_h von w an h. Hinweis: Arbeiten Sie analog zu b) und verwenden dabei die Zahlen [mm] a=\wurzel{3}+i, [/mm] w=1-2i und [mm] z_0=2+i [/mm] |
Ich grüße den matheraum so jetzt zur letzten Aufgabe aber, aber, ich kann nicht viel bieten
a)
es handelt sich um Geraden
sie verlaufen durch den Ursprung
b)
[mm] w=u+iv=\tau*e^{i\phi}
[/mm]
[mm] w=\wurzel{u^{2}+v^{2}}*e^{\phi}
[/mm]
[mm] w'_g=\phi*e^{\phi-(\psi-\phi)}
[/mm]
[mm] w'_g=\phi*e^{2\phi-\psi}
[/mm]
c)
leider habe ich nicht mehr zu bieten, ob sich jemand findet, der mir Aufgaben erklärt? Danke Zwinkerlippe
|
|
| |
|
Der Parameter [mm]a[/mm] legt ja die Richtung der Geraden fest. Multipliziert man eine komplexe Zahl [mm]w[/mm] mit [mm]a[/mm], so entspricht das einer Drehstreckung um den Ursprung, wobei das Argument von [mm]a[/mm] gerade der Drehwinkel ist (und der Betrag von [mm]a[/mm] der Streckfaktor). Daher die folgende Konstruktion:
1. Rückwärtsdrehen der Spiegelachse, so daß sie auf die reelle Achse fällt
arithmetisch: Multiplikation mit [mm]\frac{\bar{a}}{|a|}[/mm]
2. Spiegelung an der reellen Achse
arithmetisch: komplexe Konjugation
3. In die Ausgangslage zurückdrehen
arithmetisch: Multiplikation mit [mm]\frac{a}{|a|}[/mm]
Diese drei Punkte nacheinander ausgeführt ergeben eine Spiegelung an der vorliegenden Geraden:
[mm]w \mapsto \frac{\bar{a}}{|a|} \cdot w \mapsto \frac{a}{|a|} \cdot \bar{w} \mapsto \frac{a}{|a|} \cdot \frac{a}{|a|} \cdot \bar{w}[/mm]
Das Ergebnis kann noch vereinfacht werden:
[mm]\frac{a^2}{|a|^2} \cdot \bar{w} = \frac{a^2}{a \bar{a}} \cdot \bar{w} = \frac{a}{\bar{a}} \cdot \bar{w}[/mm]
Die gesuchte Spiegelung ist also
[mm]w \mapsto \frac{a}{\bar{a}} \cdot \bar{w}[/mm]
|
|
|
|
