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| Aufgabe | Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+yi mit x, y [mm] \in \IR [/mm] dar.
[mm] (\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 [/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter.
Undzwar wenn ich es ausklammere bekomme ich direkt -0,6198 raus die i´s verschwinden bei mir +0,43i-0,43i.
da habe ich bestimmt falsch gerechnet oder die Aufgabe ist ein bisschen irritierend.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Sa 13.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+yi
> mit x, y [mm]\in \IR[/mm] dar.
>
> [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm]
> Hallo,
> ich habe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe
> irgendwie nicht weiter.
>
> Undzwar wenn ich es ausklammere bekomme ich direkt -0,6198
Was willst du denn hier ausklammern?
> raus die i´s verschwinden bei mir +0,43i-0,43i.
>
> da habe ich bestimmt falsch gerechnet oder die Aufgabe ist
> ein bisschen irritierend.
Um deinen Fehler zu finden, müssten wir das ganze schin detaillierter kennen.
Bedenke aber, dass nach dem Binomischen Lehrsatz gilt:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Damit kannst du deinen Term ausmultiplizieren.
Der Rest ist ein wenig Überlegung, was i² und i³ ist.
Marius
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$ [mm] (\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{8}+(\bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm] + [mm] (\bruch{3}{2} *\bruch{3}{4}i^2)+\bruch{9}{16}i^3 [/mm] ?
[mm] i^2 [/mm] = -1 und [mm] i^3 [/mm] = -i
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Sa 13.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
> [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{8}+(\bruch{3}{4}[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm] +
> [mm](\bruch{3}{2} *\bruch{3}{4}i^2)+\bruch{9}{16}i^3[/mm] ?
>
> [mm]i^2[/mm] = -1 und [mm]i^3[/mm] = -i
Jetzt fasse den korrekten Term mit deinen korrekten Informationen i²=-1 und i³=-i zusammen.
Marius
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soo wenn ich alles richtig gerechnet habe, kommt bei mir [mm] \bruch{7}{8}+1,27i [/mm] raus.
Aber ich habe mal eine weitere Frage.
Als ich 3a²b gerechnet habe hab ich, [mm] (\bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm] geschrieben müsste es aber nicht [mm] [\bruch{3}{4} [/mm] *( [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2}i)] [/mm] sodass es am ende [mm] \bruch{7}{8}-2,39i [/mm] sein müsste?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Sa 13.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
> soo wenn ich alles richtig gerechnet habe, kommt bei mir
> [mm]\bruch{7}{8}+1,27i[/mm] raus.
> Aber ich habe mal eine weitere Frage.
> Als ich 3a²b gerechnet habe hab ich, [mm](\bruch{3}{4}[/mm] *
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm] geschrieben müsste es aber nicht
> [mm][\bruch{3}{4}[/mm] *( [mm]-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)][/mm] sodass es am
> ende [mm]\bruch{7}{8}-2,39i[/mm] sein müsste?
Warum schreibst du die scönen Wurzelterme plötzlich als Dezimalzahlen. Das solltest du dir im Studium - deinem Profil nach bist du gerade dabei - ganz schnell abgewöhnen.
[mm]\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+3\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{3}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{8}-3\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i+3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}i^{2}-\frac{(\sqrt{3})^{3}}{8}i^{3}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{8}-\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}i+\frac{9}{8}\cdot(-1)-\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot(-i)$
[/mm]
Fasse nun weiter zusammen
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Sa 13.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Ellegance,
du hast den letzten Summanden hoch 4 gerechnet
statt hoch 3.
> [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{8}+(\bruch{3}{4}[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm] +
> [mm](\bruch{3}{2} *\bruch{3}{4}i^2)+\bruch{9}{16}i^3[/mm] ?
>
Es muss heißen :
[mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 =
\bruch{1}{8}+(\bruch{3}{4}\cdot\bruch{\wurzel{3}}{2}i) +
(\bruch{3}{2} *\bruch{3}{4}i^2)+\bruch{3\cdot\sqrt{3}}{8}i^3[/mm].
Und damit wird die weitere Rechnung relativ einfach.
EDIT : Mir ist gerade aufgefallen, dass Du die Binomial-
Koeffizienten falsch angewendet hast. Die Summe muss
wohl heißen :
[mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 =
\bruch{1}{8}-(\bruch{3}{4}\cdot\bruch{\wurzel{3}}{2}i) +
(\bruch{3}{2} \cdot\bruch{3}{4}i^2)-\bruch{3\cdot\sqrt{3}}{8}i^3[/mm].
Für die weitere Berechnung macht das aber - wie
Du Dich selbst leicht überzeugst - keinen Unterschied.
Gruß
Kai
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Achso. wenn ich es dort weiter rechne komme ich auf [mm] -\bruch{9}{8}-1,067i
[/mm]
ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Sa 13.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Ellegance,
> Achso. wenn ich es dort weiter rechne komme ich auf
> [mm]-\bruch{9}{8}-1,067i[/mm]
> ist das richtig?
leider nicht.
Du weisst ja, dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] und [mm] $i^3=-i$
[/mm]
Jetzt betrachte die Summe :
$ [mm] (\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}-(\bruch{3}{4}\cdot\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm] + [mm] (\bruch{3}{2} \cdot{}\bruch{3}{4}i^2)-\bruch{3\cdot\sqrt{3}}{8}i^3 [/mm] $
Du bekommst also (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge)
folgende Summanden :
[mm] 1)$\frac{1}{8}$
[/mm]
[mm] 2)$\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot i^2=-\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}=-\frac{9}{8}$
[/mm]
[mm] 3)$-\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i$
[/mm]
[mm] 4)$-\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}\cdot i^3=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}\cdot [/mm] i$
Das musst Du jetzt eben noch zusammenfassen!
Gruß
Kai
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:04 Sa 13.04.2013 | | Autor: | ellegance88 |
also 1) und 2) zusammengefasst ergibt -1 3) zusammengefasst ergibt [mm] -\bruch{3\wurzel{3}}{8}i [/mm] und 4) [mm] \frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}\cdot [/mm] i
dann bleibt doch nur noch -1 übrig? :S
und wie soll ich das aufschreiben? -1+0i? soll es ja als x+yi darstellen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 13.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Ellegance,
> also 1) und 2) zusammengefasst ergibt -1 3) zusammengefasst
> ergibt [mm]-\bruch{3\wurzel{3}}{8}i[/mm] und 4)
> [mm]\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}\cdot[/mm] i
>
> dann bleibt doch nur noch -1 übrig? :S
Bingo! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
> und wie soll ich das aufschreiben? -1+0i? soll es ja als
> x+yi darstellen.
Ja, würde ich mal so verstehen.
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Sa 13.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
> > [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm]
> > Hallo,
> > ich habe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe
> > irgendwie nicht weiter.
> >
> > Und zwar wenn ich es ausklammere bekomme ich direkt
> > -0,6198
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Versteh ich nicht.
> Was willst du denn hier ausklammern?
Na, [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] natürlich.
[...]
> Bedenke aber, dass nach dem Binomischen Lehrsatz gilt:
> (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Igitt. Traust Du dem Formeleditor nicht mehr?
> Damit kannst du deinen Term ausmultiplizieren.
>
> Der Rest ist ein wenig Überlegung, was i² und i³ ist.
dito.
lg,
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Sa 13.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo reverend
> Hallo Marius,
>
> > > [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm]
> > > Hallo,
> > > ich habe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe
> > > irgendwie nicht weiter.
> > >
> > > Und zwar wenn ich es ausklammere bekomme ich direkt
> > > -0,6198
>
> Versteh ich nicht.
>
> > Was willst du denn hier ausklammern?
>
> Na, [mm]\tfrac{1}{2}[/mm] natürlich.
Ah, klar.
>
> [...]
> > Bedenke aber, dass nach dem Binomischen Lehrsatz gilt:
> > (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
>
> Igitt. Traust Du dem Formeleditor nicht mehr?
Ja, aber wenn man das ganze an einem Smartphone tippt, ging das so schneller.
>
> > Damit kannst du deinen Term ausmultiplizieren.
> >
> > Der Rest ist ein wenig Überlegung, was i² und i³
> ist.
>
> dito.
>
> lg,
> rev
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Sa 13.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Ellegance,
das mit den verschwindenden i's könnte sogar
hinkommen. Tipp : Kennst Du die Binomial-Koeffizienten
für n=3?
Gruß
Kai
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