Komplexe Zahlentheorie < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Do 03.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen in C der Folgenden Gleichungen:
[mm] x^6= (1-i)/(\wurzel{3}+i) [/mm] und [mm] x^8= (1+i)/(\wurzel{3}-i) [/mm] |
Also mein Problem ist einfah wie ich die n-te Wurzel eine Komplexen Zahl ausrechne. In der Vorlesung habe ´n wir das nie gemacht und die Formeln die ich in Wikipedia finde sind so unverständlich...
Hab ich das richtig verstanden: Muss ich diese Ausdrücke erst in die trigonometrische Form umwandeln um die n-te Wurzel ausrechnen zu können oder geht das auch einfacher?
Angefangen habe ich schon (ich habe es jedenfalls versucht) Aber irgendwie habe ich mich dann immer in etwas verstrickt wo ich nicht weiterkomme. Wäre echt lieb wenn mir jemand
helfen könnte denn bei mir steht eine KLausur an und ich weis nicht wie ich das packen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Susan!
Du hast das schon richtig erkannt mit der Vorgehensweise.
Du solltest Du hier die ![[]](/images/popup.gif) MOIVRE-Formel anwenden:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
Dabei gilt: $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] sowie [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$
[/mm]
Dazu musst Du zunächst die entsprechende komplexe Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll, in die Form $x+i*y_$ umwandeln.
Wie weit kommst Du denn damit?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Do 03.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Okay alles klar soweit habe ich es verstanden, ich habe jetzt r ausgerechnet, das müsste [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] sein.
Ich habe einfach den Bruch erweitert, damit im Nenner die komplexen Zahlen herausfallen und damit r ausgerechnet.
Mein Problem ist jetzt: Wie geht es weiter?
Du sagtest ich solle die komplexe Zahl in die Form a+bi umwandeln. Ist sie das nicht schon?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
durch das erweitern hast du sie schon in a+ib verwandelt. jetzt brauchst du noch [mm] \phi [/mm] mit [mm] tan\phi=b/a.
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 03.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Oh mein Gott ich komme mir so blöd vor. Also jetzt nochmal ganz langsam: Ich habe die Formel um die (in diesem Fall) 6. Wurzel auszurechnen also für n=6. Dann habe ich das r ausgerechnet, aber woher habe ich jetzt den tangens????? Und wo soll ich den einsetzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Oh mein Gott ich komme mir so blöd vor. Also jetzt nochmal
> ganz langsam: Ich habe die Formel um die (in diesem Fall)
> 6. Wurzel auszurechnen also für n=6. Dann habe ich das r
> ausgerechnet, aber woher habe ich jetzt den tangens?????
Du gehst doch aus von der Darstellung:
[mm]a+ib = r \mathrm{e}^{i\varphi} = r (\cos\varphi + i\sin\varphi) [/mm].
Daraus folgt: [mm]\tan\varphi=\bruch{b}{a}[/mm].
Damit ist [mm] \varphi [/mm] aber noch nicht ganz bestimmt, weil dabei das relative Vorzeichen von a und b verloren geht. (Beispiel: a=1,b=1 und a=-1,b=-1 führen auf den gleichen Tangens, aber im ersten Fall ist [mm]\varphi=\pi/4[/mm], im zweiten [mm]5\pi/4[/mm].)
Dann kannst du in die Moivre-Formel einsteigen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 03.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Also ich weiß nicht ob ich einfach nur aufm Schlauch stehe oder warum ich das nicht verstehe: Ich dachte immer sin/cos= tan, aber wie kome ich denn in der obigen formel auf den tangens und wo setzte ich ihn ein, bzw wie wende ich ihn an?
In dieser Formel steht doch nur sin und cosinus und das auch noch in der Summe....
lg
und sorry, dass ich sooo schwer von begriff gerade bin aber die Komplexen Zahlen sind mir echt ein Rätsel und unser Prof setzt sie einfach voraus... :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Do 03.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Susan!
Dann poste doch mal, wie Deine komplexe Zahl [mm] $\bruch{1-i}{\wurzel{3}+i}$ [/mm] nach dem Erweitern aussieht.
Von dieser neuen Darstellung können wir nämlich den Realteil sowie den Imaginärteil ablesen, um den entsprechenden Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] zu ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 03.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Also ausgehend von [mm] (1-i)/\wurzel{3}+i [/mm] habe ich sowohl Zähler als auch den Nenner mit [mm] \wurzel{3}-i [/mm] erweiter um den Nenner Real zu bekommen (muss ich das hier in dem fall überhaupt?) Durch umformen ergibt sich daraus [mm] (\wurzel{3}-1)/4 [/mm] + [mm] -i*(1+\wurzel{3})/4 [/mm] Damit ist dann der erste Bruch a und der zweite b(ohne das i) in der Formel a+bi. So habe ich dann r ausgerechnet: [mm] r=\wurzel{a^2 + b^2}
[/mm]
Danach ist dann [mm] r=\wurzel{1/2}
[/mm]
Und jetzt komme ich nicht mehr weiter (stimmt das bis jetzt überhaupt?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ausgehend von [mm](1-i)/\wurzel{3}+i[/mm] habe ich sowohl
> Zähler als auch den Nenner mit [mm]\wurzel{3}-i[/mm] erweiter um den
> Nenner Real zu bekommen (muss ich das hier in dem fall
> überhaupt?) Durch umformen ergibt sich daraus
> [mm](\wurzel{3}-1)/4[/mm] + [mm]-i*(1+\wurzel{3})/4[/mm] Damit ist dann der
> erste Bruch a und der zweite b(ohne das i) in der Formel
> a+bi. So habe ich dann r ausgerechnet: [mm]r=\wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
>
> Danach ist dann [mm]r=\wurzel{1/2}[/mm]
>
> Und jetzt komme ich nicht mehr weiter (stimmt das bis jetzt
> überhaupt?)
Das ist Alles richtig.
Jetzt musst du noch den Winkel [mm]\varphi[/mm] in der Polardarstellung bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich weiß nicht ob ich einfach nur aufm Schlauch stehe
> oder warum ich das nicht verstehe: Ich dachte immer
> sin/cos= tan, aber wie kome ich denn in der obigen formel
> auf den tangens und wo setzte ich ihn ein, bzw wie wende
> ich ihn an?
Du hast:
[mm]a+ib=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)[/mm],
also
[mm] a= r \cos\varphi [/mm]
und
[mm] b = r \sin\varphi[/mm].
Was ist also b/a?
> und sorry, dass ich sooo schwer von begriff gerade bin
> aber die Komplexen Zahlen sind mir echt ein Rätsel und
> unser Prof setzt sie einfach voraus... :(
Dann schau dir doch mal diese oder diese Seiten an!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Do 03.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Pkay alles klar jetzt versteh ich auch woher der tangens kommt :)
Ich versuchs einfach mal und meld mich dann nochmal obs geklappt hat...
lg und danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Jipieeee hat zwar gedauert habs aber jetzt verstanden und auch gelöst. Vielen Dank nochmal.
|
|
|
|
