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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Fr 04.04.2008 | | Autor: | bore |
| Aufgabe | | [mm] (2(cos(\pi/3)+j*sin(\pi/3)))^{10} [/mm] |
Hier erhalte ich
[mm] 1024*e^{j(10/3)*\pi}
[/mm]
Die Korrekte Lösung lautet: [mm] 1024*e^{j(4/3)*\pi}
[/mm]
Kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe?
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](2(cos(\pi/3)+j*sin(\pi/3)))^{10}[/mm]
> Hier erhalte ich
> [mm]1024*e^{j(10/3)*\pi}[/mm]
>
> Die Korrekte Lösung lautet: [mm]1024*e^{j(4/3)*\pi}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe?
Du hast nichts falsch gemacht, Du beachtest nur einfach nicht, dass das das gleiche ist, weil
$f: [mm] \IR \to \IC$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\exp(j*x)=e^{j*x}=\cos(x)+j*\sin(x)$ [/mm]
(mit $j$ als imaginäre Einheit) [mm] $2\pi$-periodisch [/mm] ist.
Es gilt also: Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, so folgt
[mm] $(\*)$ $\exp(j*x)=\exp(j*(x+k*2\pi))$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Oben:
Setzt Du also in [mm] $(\*)$ [/mm] nun [mm] $x=\frac{10}{3}\pi$ [/mm] und $k=-1 [mm] \in \IZ$ [/mm] ein:
[mm] $e^{j*\frac{10}{3}\pi}=\exp\left(j*\frac{10}{3}\pi\right)=\exp\left(j*\left(\frac{10}{3}\pi+\underbrace{(-1)*\frac{6}{3}\pi}_{=-1*2\pi}\right)\right)=\exp\left(j*\frac{4}{3}\pi\right)=e^{j*\frac{4}{3}\pi}$
[/mm]
Die beiden Ergebnisse stimmen also überein.
Gruß,
Marcel
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