Komplexe Zahlen/G. Zahlenebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 So 18.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
| Aufgabe | Wo liegen in der Gaußschen Zahlenebene alle komplexen Zahlen z mit
(i) [mm] z^{2}=|z|^{2} [/mm] (ii) [mm] |\bruch{z - i}{z + i}| [/mm] = 1 (iii) [mm] |\bruch{z - 3}{ z + 3}| [/mm] = 2
|
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll.
Bei (i) hab ich mal einiges probiert, aber da ich nicht weiß auf was ich genau hinaus muss, ist es vielleicht nicht nützlich.
[mm] z^{2} [/mm] = [mm] z\overline{z}
[/mm]
z = [mm] \overline{z}
[/mm]
x+iy = x-iy
iy=-iy
Vielleicht kann man hinschreiben, dass alle Zahlen spiegelnd an der x-Achse (reellen Achse) auf der Zahlenebene liegen.
Meine Frage wäre auf was sollte man bei einer Umformung hinaus, um gut zu beschreiben wie die Werte in der Gaußschen Zahlenebene liegen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 So 18.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo rororo!
> [mm]z^{2}[/mm] = [mm]z\overline{z}[/mm]
> z = [mm]\overline{z}[/mm]
Bei diesem Schritt musst Du noch den Fall $z \ = \ 0$ gesondert untersuchen.
> x+iy = x-iy
> iy=-iy
Forme dies nun nach $y \ = \ ...$ um.
Ähnlich geht es bei den anderen Aufgaben:
$z \ = \ x+i*y$ einsetzen und anschließend umformen; z.B. nach bekannten formeln geometrischer Figuren (z.B. Kreisgleichung).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:53 Mo 19.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
| Aufgabe | zu(iii)
[mm] |\bruch{z-3}{z+3}| [/mm] = 2 [mm] \gdw \bruch{|(x-3)+iy|}{|(x+3)+iy|} [/mm] = 2 [mm] \gdw \bruch{(x-3)^{2}+y^{2}}{(x+3)^{2}+y^{2}} [/mm] = 4
[mm] \gdw (x-3)^{2}+y^{2} [/mm] = [mm] 4((x+3)^{2}+y^{2})
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}-6x+9+y^{2} [/mm] = [mm] 4x^{2}+24x+36+4y^{2}
[/mm]
[mm] \gdw -3x^{2}-30x-27-3y^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+10x+9+y^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw (x+5)^{2} [/mm] + [mm] y^{2}=16
[/mm]
Die komplexen Zahlen liegen alle auf dem Kreis um den Punkt (-5,0) mit Radius 4.
zu (i)
[mm] z^{2}=|z|^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (x+iy)^{2}=x^{2}+y{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+2iy-y^{2}=x^{2}+y{2}
[/mm]
[mm] \gdw 2iy-2y^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y(i-y)=0
zu (2)
[mm] |\bruch{z-i}{z+i}=1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}+(y+1)^{2}}=1
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+(y-1)^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (y-1)^{2}=(y+1)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw y^{2}-2y+1=y^{2}+2y+1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -4y=0 |
Bei (iii) habe ich was rausbekommen. Bei den anderen Teilaufgaben kommt bei mir jedoch nichts gescheites raus :(
Da bräuchte ich Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo rororo!
Alle 3 Aufgaben hast Du korrekt bearbeitet. Bei $(i)_$ und $(ii)_$ musst du nun noch überlegen, wann für welche [mm] $y\in\IR$ [/mm] diese Gleichungen erfüllt sind.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Dabei solltest Du auf jeweils $y \ = \ 0$ kommen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Mo 19.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
Ah ok. Das erklärt warum ich immer aufs gleiche Ergebnis kam ;)
Ist es dann so, dass bei den ersten beiden Teilaufgaben alle komplexen Zahlen in der Gaußchen Zahlenebene auf der x-Achse liegen? Da ja y=0 rauskommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 Mo 19.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
Alles klar! Danke euch beiden für eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 20.01.2009 | | Autor: | Lorence |
> zu (i)
> [mm]z^{2}=|z|^{2}[/mm]
> [mm]\gdw (x+iy)^{2}=x^{2}+y{2}[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}+2iy-y^{2}=x^{2}+y{2}[/mm]
!!!! Sicher dass der Binom richtig ausmultipliziert wurde? !!!
sollte es nicht heißen:
[mm] (x+iy)^{2}= x^2 [/mm] + 2xiy - [mm] y^2
[/mm]
Oder liege ich da Falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Di 20.01.2009 | | Autor: | Dath |
Du hast natürlich recht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 20.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Dann is doch aber das Ergebniss ein ganz anderes oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Di 20.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lorence!
Nein, das Ergebnis bleibt dasselbe, da ja von dem umgeformten Term der Imaginärteil immer noch Null sein muss.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
