Komplexe Zahlen, Beweis < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Do 07.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Sei w die komplexe Zahl:
w= [mm] cos(\bruch{1}{n}) [/mm] + i [mm] sin\bruch{1}{n}
[/mm]
Unter der Annahme, dass [mm] \pi [/mm] keine rationale Zahl ist, zeigen Sie, dass es keine Zahl k [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass [mm] w^k [/mm] = 1. |
[mm] w^k [/mm] = 1 gilt genau dann, wenn k=0 ist, also muss ich beweisen, dass k nicht Null sein kann, oder? Aber wie ich das machen soll, ist mir vollkommen schleierhaft. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein das ist falsch. (natürlich ist k=0 richtig, aber meist zählt man 0 nicht zu [mm] \IN) [/mm] hier ist also gemein k ganz, >0
für [mm] w=cos(2\pi/n)+i*sin(2\pi/n)
[/mm]
ist [mm] w^k=0 [/mm] für k=n,2n,3n,....
kennst du die Eulerdarstelung der komplexen Zahlen?
sinst zeichne die komplexe Zahl mal z.b for n=3, oder 4 auf, auf dem Einheitskreis wenn du dann weisst wie man graphisch komplexe Zahlen multipliziert, siehst du die Behauptung erst mal direkt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei w die komplexe Zahl:
> w= [mm]cos(\bruch{1}{n})[/mm] + i [mm]sin\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Unter der Annahme, dass [mm]\pi[/mm] keine rationale Zahl ist,
> zeigen Sie, dass es keine Zahl k [mm]\in \IN[/mm] gibt, so dass [mm]w^k[/mm]
> = 1.
> [mm]w^k[/mm] = 1 gilt genau dann, wenn k=0 ist, also muss ich
> beweisen, dass k nicht Null sein kann, oder? Aber wie ich
> das machen soll, ist mir vollkommen schleierhaft. :(
>
>
>
Es ist, das hat leduart schon gesagt: k [mm] \ge [/mm] 1, k [mm] \in \IN.
[/mm]
Aus [mm]w= cos(\bruch{1}{n})+isin(\bruch{1}{n})[/mm] folgt
[mm]w^k= cos(\bruch{k}{n})+isin(\bruch{k}{n})[/mm]
Wenn das =1 wäre, so wäre
[mm] cos(\bruch{k}{n})=1 [/mm] und [mm] sin(\bruch{k}{n})=0
[/mm]
Geht denn das, wenn Du verwenden darfst, dass $ [mm] \pi [/mm] $ keine rationale Zahl ist ?
Nullstellen des Sinus ?
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Do 07.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Ah, danke! :)
Sowohl Sinus als auch Kosinus haben ihre Nullstellen bzw. Maxima jeweils bei Vielfachen von [mm] \pi. [/mm] Also gibt es keine Lösung [mm] \in \IN
[/mm]
|
|
|
|
