Komplexe Zahlen - Wurzel < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie all $z [mm] \in [/mm] C$, so dass $p(z) = -16$ mit $p(z) = [mm] (z^3-4i)^2$ [/mm] und geben Sie diese in der Darstellung a + bi mit a,b [mm] \in [/mm] R an. |
Mein bisheriges Vorgehen:
[mm] p(z)=z^6-8iz^3-16
[/mm]
[mm] z^6-8iz^3-16 [/mm] = -16
[mm] z^6= 8iz^3+32
[/mm]
[mm] z_{k} [/mm] &= [mm] \sqrt[6]{|z|} \cdot{} e^{i (?) \qquad} [/mm] k [mm] \in {\{0,1,2,3,4,5}\} [/mm]
dann wäre |z| = [mm] \sqrt{8^2+32^2} [/mm] = [mm] \sqrt{1088}
[/mm]
Um nun das (?) zu bestimmen nutze ich Tabelle aus dem Anhang.
a = 32 und b = 8 d.h. arctan(b/a) => arctan (8/32) => arctan (1/4). Stimmt mein bisheriges Gerechne?
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo MartinNeumann,
> Bestimmen Sie all [mm]z \in C[/mm], so dass [mm]p(z) = -16[/mm] mit [mm]p(z) = (z^3-4i)^2[/mm]
> und geben Sie diese in der Darstellung a + bi mit a,b [mm]\in[/mm] R
> an.
> Mein bisheriges Vorgehen:
> [mm]p(z)=z^6-8iz^3-16[/mm]
>
> [mm]z^6-8iz^3-16[/mm] = -16
>
> [mm]z^6= 8iz^3+32[/mm]
>
> [mm]z_{k}[/mm] &= [mm]\sqrt[6]{|z|} \cdot{} e^{i (?) \qquad}[/mm] k [mm]\in {\{0,1,2,3,4,5}\}[/mm]
>
> dann wäre |z| = [mm]\sqrt{8^2+32^2}[/mm] = [mm]\sqrt{1088}[/mm]
>
> Um nun das (?) zu bestimmen nutze ich Tabelle aus dem
> Anhang.
> a = 32 und b = 8 d.h. arctan(b/a) => arctan (8/32) =>
> arctan (1/4). Stimmt mein bisheriges Gerechne?
>
Nein, das stimmt nicht.
Bringe diese Gleichung
[mm]z^6-8iz^3-16 = -16[/mm]
in die Form "... = 0".
Versuche dann die linke Seite dieser neuen Gleichung
zu faktorisieren, um dann die Lösungen zu bestimmen.
> PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke schonmal für die Antwort.
Das wäre dann:
[mm] z^6-8iz^3 [/mm] = 0
[mm] z^6 [/mm] = [mm] 8iz^3
[/mm]
[mm] z^3 [/mm] = 8i
Auf diese Art?
|
|
|
| |
|
Hallo MartinNeumann,
> Danke schonmal für die Antwort.
>
> Das wäre dann:
> [mm]z^6-8iz^3[/mm] = 0
> [mm]z^6[/mm] = [mm]8iz^3[/mm]
> [mm]z^3[/mm] = 8i
>
Hier verlierst Du Lösungen.
Schreibe die linke Seite der Gleichung
[mm]z^6-8iz^3 = 0[/mm]
als Produkt und wende dann den Satz vom Nullprodukt an.
> Auf diese Art?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ah stimmt, dann ist [mm] z_1 [/mm] = 0, [mm] z_2 [/mm] = 0 and [mm] z_3 [/mm] = 0.
Übring bleibt: [mm] z^3= [/mm] 8i
=> a = 0, b > 0 => [mm] \varphi [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}
[/mm]
[mm] z_k [/mm] = [mm] \sqrt[3]{64} \cdot e^{i(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3})}
[/mm]
k [mm] \in {\{0,1,2}\}
[/mm]
[mm] \sqrt[3]{64} [/mm] = 4
[mm] z_4 [/mm] = 4 [mm] (\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}) [/mm] = [mm] 2(\sqrt{3}+i)
[/mm]
[mm] z_5 [/mm] = [mm] 4(\cos(\frac{5\pi}{6})+i\sin(\frac{5 \pi}{6}))
[/mm]
[mm] z_6 [/mm] = [mm] 4(\cos(\frac{9\pi}{6})+i\sin(\frac{9 \pi}{6}))= 4(\cos(\frac{3\pi}{2})+i\sin(\frac{3 \pi}{2}))
[/mm]
So?
|
|
|
| |
|
Hallo MartinNeumann,
> Ah stimmt, dann ist [mm]z_1[/mm] = 0, [mm]z_2[/mm] = 0 and [mm]z_3[/mm] = 0.
>
> Übring bleibt: [mm]z^3=[/mm] 8i
> => a = 0, b > 0 => [mm]\varphi[/mm] = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]z_k[/mm] = [mm]\sqrt[3]{64} \cdot e^{i(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3})}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]z_k[/mm] = [mm]\sqrt[3]{\blue{8}} \cdot e^{i(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3})}[/mm]
> k [mm]\in {\{0,1,2}\}[/mm]
>
> [mm]\sqrt[3]{64}[/mm] = 4
>
> [mm]z_4[/mm] = 4 [mm](\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})[/mm] = [mm]2(\sqrt{3}+i)[/mm]
>
> [mm]z_5[/mm] = [mm]4(\cos(\frac{5\pi}{6})+i\sin(\frac{5 \pi}{6}))[/mm]
>
> [mm]z_6[/mm] = [mm]4(\cos(\frac{9\pi}{6})+i\sin(\frac{9 \pi}{6}))= 4(\cos(\frac{3\pi}{2})+i\sin(\frac{3 \pi}{2}))[/mm]
>
> So?
Bis auf den Faktor 4 stimmt das.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ach stimmt das muss ja eigentlich so sein:
$ [mm] \sqrt[3]{\sqrt{8^2}} [/mm] $ = 2
wobei [mm] \sqrt{8^2} [/mm] unnötig ist, da es sich gegenseitig aufhebt.
Vielen Dank für Deine Hilfe!
|
|
|
|
