Komplexe Zahlen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
| Aufgabe | Es seien a und b natürliche Zahlen, die als Summen zweier Quadrate natürlicher Zahlen darstellbar sind, d.h.
a= [mm] n^2 [/mm] + [mm] m^2 [/mm] , b= [mm] p^2 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] mit n, m, p, q ∈ [mm] \IN
[/mm]
Man zeige, dass auch a · b als Summe zweier Quadrate von ganzen Zahlen darstellbar ist.
(Anleitung: Deute a und b als Betrage passender komplexer Zahlen!) |
Also an sich versteh ich die Aufgabe denke ich, aber die Anleitung die gegeben ist, die versteh ich nicht.
Kann mir vielleicht jemand beim Ansatz helfe, so dass ich verstehe wie ich a und b als Beträge passender Komplexer Zahlen darstellen kann?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 02.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es seien a und b natürliche Zahlen, die als Summen zweier
> Quadrate natürlicher Zahlen darstellbar sind, d.h.
>
> a= [mm]n^2[/mm] + [mm]m^2[/mm] , b= [mm]p^2[/mm] + [mm]q^2[/mm] mit n, m, p, q ∈ [mm]\IN[/mm]
>
> Man zeige, dass auch a · b als Summe zweier Quadrate von
> ganzen Zahlen darstellbar ist.
> (Anleitung: Deute a und b als Betrage passender komplexer
> Zahlen!)
> Also an sich versteh ich die Aufgabe denke ich, aber die
> Anleitung die gegeben ist, die versteh ich nicht.
Mit deinen Voraussetzungen gilt doch:
[mm] a\cdot b=(n^{2}+m^{2})\cdot(p^{2}+q^{2})
[/mm]
Multipliziere das doch mal aus.
>
> Kann mir vielleicht jemand beim Ansatz helfe, so dass ich
> verstehe wie ich a und b als Beträge passender Komplexer
> Zahlen darstellen kann?
Überlege mal, wie der Betrag einer komplexen Zahl z=x+iy definiert ist.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
also nach ausmultiplizieren hab ich
[mm] n^2p^2 [/mm] + [mm] m^2q^2 [/mm] + [mm] n^2q^2 [/mm] + [mm] m^2p^2 [/mm] = a*b
und bei z= x+iy wäre |z| = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^{1/2}
[/mm]
ich denke ich muss das jetzt irgendwie zusammen bringen, aber wie ich das machen muss weis ich irgendwie überhaupt nicht... :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 02.12.2012 | | Autor: | abakus |
> also nach ausmultiplizieren hab ich
>
> [mm]n^2p^2[/mm] + [mm]m^2q^2[/mm] + [mm]n^2q^2[/mm] + [mm]m^2p^2[/mm] = a*b
>
> und bei z= x+iy wäre |z| = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)^{1/2}[/mm]
>
> ich denke ich muss das jetzt irgendwie zusammen bringen,
> aber wie ich das machen muss weis ich irgendwie überhaupt
> nicht... :/
Hallo,
ich kenne zwar den erforderlichen Trick, sehe aber auch nicht, wie ich das mit komplexen Zahlen in Verbindung bringen kann.
Der Trick ist:
addiere $2*mnpq$ und subtrahiere diese $2*mnpq$ wieder.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Ja wie?
woran soll ich das jetzt addieren?
An das, was ich vorher ausmultipliziert habe?
und was bringt mir das dann? :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 So 02.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Ja wie?
> woran soll ich das jetzt addieren?
>
> An das, was ich vorher ausmultipliziert habe?
> und was bringt mir das dann? :/
Der Term auf der linken Seite hat 4 quadratische Summanden.
Schreibe zwischen die erste beiden "+2mnpq" und zwischen die letzten beiden Summanden "-2mnpq".
Jetzt vordere und hintere Hälfte jeweils mit bin. Formel zusammenfassen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Also:
[mm] ((np)+(mq))^2 [/mm] + [mm] ((nq)-(mp))^2 [/mm] = ab
Ist das so richtig? Oder meinst du was anderes?
Und ist das jetzt schon meine Lösung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 02.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Also:
>
> [mm]((np)+(mq))^2[/mm] + [mm]((nq)-(mp))^2[/mm] = ab
>
> Ist das so richtig? Oder meinst du was anderes?
>
> Und ist das jetzt schon meine Lösung?
Das ist es, denn jetzt hast du auch [mm] $a\cdot [/mm] b$ als Summe zweier Quadrate dargestellt.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Vielen dank :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 So 02.12.2012 | | Autor: | abakus |
>
> > Also:
> >
> > [mm]((np)+(mq))^2[/mm] + [mm]((nq)-(mp))^2[/mm] = ab
> >
> > Ist das so richtig? Oder meinst du was anderes?
> >
> > Und ist das jetzt schon meine Lösung?
>
> Das ist es, denn jetzt hast du auch [mm]a\cdot b[/mm] als Summe
> zweier Quadrate dargestellt.
>
> Marius
>
Hallo,
auch wenn die Aufgabe jetzt gelöst ist: Mich würde interessieren, wie der Hinweis mit dem Betrag einer komplexen Zahl hier zielführend eingebracht werden könnte.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 So 02.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
>
>
> >
> > > Also:
> > >
> > > [mm]((np)+(mq))^2[/mm] + [mm]((nq)-(mp))^2[/mm] = ab
> > >
> > > Ist das so richtig? Oder meinst du was anderes?
> > >
> > > Und ist das jetzt schon meine Lösung?
> >
> > Das ist es, denn jetzt hast du auch [mm]a\cdot b[/mm] als Summe
> > zweier Quadrate dargestellt.
> >
> > Marius
> >
> Hallo,
> auch wenn die Aufgabe jetzt gelöst ist: Mich würde
> interessieren, wie der Hinweis mit dem Betrag einer
> komplexen Zahl hier zielführend eingebracht werden
> könnte.
vielleicht so:
Definiere [mm] $v:=n+i*m\,$ [/mm] und [mm] $w:=p+i*q\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $a=|v^2|=n^2+m^2$
[/mm]
und [mm] $b=|w^2|=p^2+q^2\,.$
[/mm]
Es folgt
[mm] $$a*b=|v^2*w^2|=|v*w|^2\,.$$
[/mm]
Weiterhin ist
[mm] $$v*w=np-mq+i*(mp+nq)\,.$$
[/mm]
Damit sollte sich dann das gewünschte folgern lassen. (Auch, wenn ich
jetzt hier nicht mehr nachgedacht habe, sondern nur mal das ganze hiermit
verglichen habe... ich bin gerade denkfaul ^^)
edit: Okay, ich war wirklich zu denkfaul: Jetzt sieht man ja die
Behauptung nach Definition des Betrages unmittelbar.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 So 02.12.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Natürlich hätte man auch $v:=m-in$ oder $v:=-m+in$ etc. pp. definieren
können - analoges gilt für [mm] $w\,.$
[/mm]
Übrigens sieht man an meiner Antwort auch nochmal "den Trick", den Du
angewendet hast: Denn mein Ergebnis sieht ja auf den ersten Blick nicht
genauso aus wie das, was Domi2209 erhalten hatte...
|
|
|
|
