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| Aufgabe | Was ist an der folgenden Rechnung faul?
[mm] -1=i^{2}=\wurzel{-1}*\wurzel{-1}=\wurzel{(-1)*(-1)}=\wurzel{1}=1 [/mm] |
Mein Professor hat das heute an die Tafel geschrieben und gesagt das ist ein Widerspruch, aber ich verstehe das nicht so ganz. Wo genau ist der Widerspruch, wie könnte ich das jetzt zum Beispiel am besten erklären???
Vielen lieben Dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] \wurzel{-1} [/mm] ist nicht eindeutig, denn
[mm] $i^2=-1$ [/mm] und [mm] $(-i)^2=-1$
[/mm]
Im Komplexen hat jede Zahl [mm] \ne [/mm] 0 zwei Wurzeln.
FRED
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Hmmm wie könnte ich die Gleichung denn dann aufschreiben, damit sie richtig ist etwa so :
[mm] -1=i^2=\wurzel{-1}*\wurzel{1}=\wurzel{(-1)*(1)}=\wurzel{-1}
[/mm]
Dankeeee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Di 18.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathematiklady,
> Hmmm wie könnte ich die Gleichung denn dann aufschreiben,
> damit sie richtig ist etwa so :
>
> [mm]-1=i^2=\wurzel{-1}*\wurzel{1}=\wurzel{(-1)*(1)}=\wurzel{-1}[/mm]
$i$ ist sicherlich keine Wurzel der Zahl 1, wie von dir mit dem zweiten Gleichheitszeichen irrtümlich angenommen.
Schon die Schreibweise [mm] $\wurzel{-1}$ [/mm] ist problematisch. Welche der beiden Wurzeln soll gemeint sein? Daher würde ich gar nicht erst versuchen, die faule Zeile des Professors zu retten.
[mm] ($\wurzel{a}$ [/mm] für eine nichtnegative reelle Zahl $a$ ist dagegen unproblematisch: Sie ist einfach definiert als die NICHTNEGATIVE reelle Zahl $b$ mit [mm] $b^2=a$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathematiklady,
>
> > Hmmm wie könnte ich die Gleichung denn dann aufschreiben,
> > damit sie richtig ist etwa so :
> >
> >
> [mm]-1=i^2=\wurzel{-1}*\wurzel{1}=\wurzel{(-1)*(1)}=\wurzel{-1}[/mm]
> [mm]i[/mm] ist sicherlich keine Wurzel der Zahl 1, wie von dir mit
> dem zweiten Gleichheitszeichen irrtümlich angenommen.
>
> Schon die Schreibweise [mm]\wurzel{-1}[/mm] ist problematisch.
> Welche der beiden Wurzeln soll gemeint sein? Daher würde
> ich gar nicht erst versuchen, die faule Zeile des
> Professors zu retten.
>
> ([mm]\wurzel{a}[/mm] für eine nichtnegative reelle Zahl [mm]a[/mm] ist
> dagegen unproblematisch: Sie ist einfach definiert als die
> NICHTNEGATIVE reelle Zahl [mm]b[/mm] mit [mm]b^2=a[/mm].)
Vorsicht !
Im Komplexen ist das aber nicht mehr richtig ! Wegen [mm] (-b)^2=a [/mm] ist im Komplexen auch -b eine Wurzel aus a.
FRED
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 18.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
> Im Komplexen ist das aber nicht mehr richtig ! Wegen
> [mm](-b)^2=a[/mm] ist im Komplexen auch -b eine Wurzel aus a.
Ich folge folgenden beiden Definitionen:
EINE Wurzel einer komplexen Zahl $a$ ist ein Element [mm] $b\in\IC$ [/mm] mit [mm] $b^2=a$.
[/mm]
Dafür würde ich von der Schreibweise [mm] $\wurzel{a}$ [/mm] abraten, da sie eine Eindeutigkeit suggeriert.
Das Symbol [mm] $\wurzel{a}$ [/mm] für eine nichtnegative reelle Zahl $a$ wird dagegen im z.B. in Forster, Analysis I völlig eindeutig auf folgende Weise definiert: [mm] $\wurzel [/mm] a$ ist die eindeutig bestimmte NICHTNEGATIVE reelle Zahl $b$ mit [mm] $b^2=a$.
[/mm]
Im Sinne dieser Definition steht das Symbol [mm] $\wurzel{a}$ [/mm] tatsächlich für eine eindeutig bestimmte Zahl; unbenommen der Tatsache, dass $a$ im Falle [mm] $a\neq0$ [/mm] zwei Wurzeln im Sinne obiger Definition besitzt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Danke für die Belehrungen. In meinen Vorlesungen mach ich es immer so:
1. Sind wir in [mm] \IR, [/mm] so ziehen wir nur Wurzen aus Zahlen [mm] \ge [/mm] 0 und das Resultat ist [mm] \ge [/mm] 0.
2. Sind wir in [mm] \IC, [/mm] so hat jede komplexe Zahl [mm] \ne [/mm] 0 zwei Wurzeln.
Nicht nur ich mache das so.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Di 18.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
nun ist mir dein ursprünglicher Einwand verständlich.
Viele Grüße
Tobias
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