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| Aufgabe | Gegeben seien die komplexen Zahlen [mm]z_1 = -1 + i\wurzel{3}[/mm] und [mm]z_2 = e^{i*\pi/3}[/mm].
a) Stellen Sie [mm] z_1 [/mm] in der Form [mm]z_1 = re^{i\phi}, r > 0[/mm], sowie [mm] z_2 [/mm] in der Form [mm]z_2 = x + iy[/mm] dar.
b) Berechnen Sie die folgenden Zahlen: [mm] \left| z_1 \right|, \left| z_2 \right|, z_1^{\*}, Re(z_2), z_1*z_2, Re\left( \bruch{z_1}{z_2} \right), \left| z_1 + z_2 \right|^2.
[/mm]
c) Skizzieren Sie [mm] z_1, z_2 [/mm] sowie die entsprechenden konjugiert komplexen Zahlen [mm] z_1^{\*}, z_2^{\*} [/mm] in der komplexen Zahlenebene. |
Hallo an alle Leser,
auch hier (s. Thread "Vektorraum") habe ich das Problem, dass ich über komplexe Zahlen nur ein bisschen mehr als nichts weiß.
Was ich weiß:
[mm]\wurzel{-2} = \wurzel{-1 * 2} = \wurzel{2} * i[/mm]
Dann habe ich noch herausgefunden, dass man, um die komplex konjugierte Zahl zu berechnen, das Vorzeichen von Minus auf Plus umdrehen muss (?).
Was soll das bringen?
Bei a) weiß ich nicht, wie man so eine Umformung macht.
Bei b) habe ich auch keine Ahnung, wie man Beträge und Produkte von komplexen Zahlen ausrechnet. Was bedeutet denn Re? Ist das dieser Realteil?
Und bei c) habe ich gar keine Ahnung, was die wollen.
Wie beim Thread "Vektorraum" möchte ich die Aufgaben gerne selbst lösen, habe aber leider die theoretischen Grundlagen überhaupt nicht.
Ich hoffe, dass mir jemand erklären kann, wie man sowas rechnet, gerne an irgendeinem anderen Beispiel :)
Schöne Grüße,
Princess
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Hallo Princess17,
> Gegeben seien die komplexen Zahlen [mm]z_1 = -1 + i\wurzel{3}[/mm]
> und [mm]z_2 = e^{i*\pi/3}[/mm].
>
> a) Stellen Sie [mm]z_1[/mm] in der Form [mm]z_1 = re^{i\phi}, r > 0[/mm],
> sowie [mm]z_2[/mm] in der Form [mm]z_2 = x + iy[/mm] dar.
>
> b) Berechnen Sie die folgenden Zahlen: [mm]\left| z_1 \right|, \left| z_2 \right|, z_1^{\*}, Re(z_2), z_1*z_2, Re\left( \bruch{z_1}{z_2} \right), \left| z_1 + z_2 \right|^2.[/mm]
>
> c) Skizzieren Sie [mm]z_1, z_2[/mm] sowie die entsprechenden
> konjugiert komplexen Zahlen [mm]z_1^{\*}, z_2^{\*}[/mm] in der
> komplexen Zahlenebene.
> Hallo an alle Leser,
>
> auch hier (s. Thread "Vektorraum") habe ich das Problem,
> dass ich über komplexe Zahlen nur ein bisschen mehr als
> nichts weiß.
>
> Was ich weiß:
> [mm]\wurzel{-2} = \wurzel{-1 * 2} = \wurzel{2} * i[/mm]
>
> Dann habe ich noch herausgefunden, dass man, um die komplex
> konjugierte Zahl zu berechnen, das Vorzeichen von Minus auf
> Plus umdrehen muss (?).
> Was soll das bringen?
Das Vorzeichen des Imaginärteils der komplexen Zahl,
das ist der Teil, bei dem das "i" steht, wird umgedreht,
bzw. mit "-1" multipliziert.
>
> Bei a) weiß ich nicht, wie man so eine Umformung macht.
Nun, eine komplexe Zahl z, hat eine Realteil (Re)
und einen Imaginärteil (Im).
[mm]z=a+b*i, \ a,b \in \IR[/mm]
Hier ist dann a der Realteil von z ([mm]\operaroname{Re} \ z[/mm])
und b der Imaginärteil von z ([mm]\operaroname{Im} \ z[/mm]).
Nun zur Umformung.
Nach der ![[]](/images/popup.gif) eulerschen Identität gilt:
[mm]z=a+b*i=re^{i\varphi}=r*\cos\left(\varphi\right)+i*r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Daraus ergeben sich 2 Gleichungen:
[mm]a=r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]b=r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Woraus sich dann r und [mm]\varphi[/mm] ergeben,
wobei [mm]r=\vmat{z}[/mm] ist.
> Bei b) habe ich auch keine Ahnung, wie man Beträge und
> Produkte von komplexen Zahlen ausrechnet. Was bedeutet denn
> Re? Ist das dieser Realteil?
Ja, das ist der Realteil.
> Und bei c) habe ich gar keine Ahnung, was die wollen.
Zeichne die komplexen Zahlen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Hier entspricht die y-Achse dem Imaginärteil und die x-Achse dem
Realteil der komplexen Zahl-
>
> Wie beim Thread "Vektorraum" möchte ich die Aufgaben gerne
> selbst lösen, habe aber leider die theoretischen
> Grundlagen überhaupt nicht.
>
> Ich hoffe, dass mir jemand erklären kann, wie man sowas
> rechnet, gerne an irgendeinem anderen Beispiel :)
>
> Schöne Grüße,
> Princess
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke erstmal für Ihre Antwort. Es ist mir schon ein bisschen klarer.
Zu a):
Ich habe das soweit verstanden, aber wie kommt man darauf, dass [mm]r = \left| z \right|[/mm] ist? Ist das immer so, oder haben Sie das hier irgendwie berechnet?
Dann habe ich:
[mm]-1 = \wurzel{2}i * cos(\phi)[/mm]
[mm]\bruch{i}{\wurzel{2}} = cos (\phi)[/mm]
Wie komme ich jetzt auf [mm] \phi?
[/mm]
Zu b):
Was ist der Sinn einer komplex konjugierten Zahl?
[mm]z_1^{\*} = -1 - i\wurzel{3}[/mm]
[mm]\left| z_1 \right| = \wurzel{a^2 + b^2} = \wurzel{1 + 3i^2} = \wurzel{-2} = \wurzel{2}*i[/mm]
Ist das richtig?
Ich würde mich über weitere Hilfe dabei sehr freuen!
Schöne Grüße,
Princess
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Hallo Princess17,
> Hallo MathePower,
>
> danke erstmal für Ihre Antwort. Es ist mir schon ein
> bisschen klarer.
>
> Zu a):
> Ich habe das soweit verstanden, aber wie kommt man darauf,
> dass [mm]r = \left| z \right|[/mm] ist? Ist das immer so, oder haben
> Sie das hier irgendwie berechnet?
> Dann habe ich:
> [mm]-1 = \wurzel{2}i * cos(\phi)[/mm]
> [mm]\bruch{i}{\wurzel{2}} = cos (\phi)[/mm]
>
> Wie komme ich jetzt auf [mm]\phi?[/mm]
>
Der Betrag einer komplexen Zahl z=x+i*y ist: [mm]\vmat{z}=\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
>
> Zu b):
> Was ist der Sinn einer komplex konjugierten Zahl?
Wenn Du im Nenner eines Bruches eine komplexe Zahl hast,
dann kannst Du durch Erweitern dieses Bruches mit der
konjugiert komplexen Zahl des Nenners erreichen, daß
der Nenner reell wird.
> [mm]z_1^{\*} = -1 - i\wurzel{3}[/mm]
> [mm]\left| z_1 \right| = \wurzel{a^2 + b^2} = \wurzel{1 + 3i^2} = \wurzel{-2} = \wurzel{2}*i[/mm]
>
> Ist das richtig?
>
Nein, das ist nicht richtig.
> Ich würde mich über weitere Hilfe dabei sehr freuen!
>
> Schöne Grüße,
> Princess
Gruss
MathePower
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Hallo nochmal,
das i spielt also im Betrag keine Rolle. Dann so:
[mm]\left| z_1 \right| = \wurzel{1+3} = 2[/mm] ?
Vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber ich habe immer noch nicht verstanden, warum bei a) [mm]\left| z \right| = r[/mm] ist und wie man [mm] \phi [/mm] aus den Formeln dann berechnet.
Danke nochmal,
Princess
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Hallo Princess17,
> Hallo nochmal,
>
> das i spielt also im Betrag keine Rolle. Dann so:
>
> [mm]\left| z_1 \right| = \wurzel{1+3} = 2[/mm] ?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber ich habe immer
> noch nicht verstanden, warum bei a) [mm]\left| z \right| = r[/mm]
> ist und wie man [mm]\phi[/mm] aus den Formeln dann berechnet.
Für die komplexe Zahl z=a+bi hast Du
gemäß der eulerschen Identität die Gleichungen
[mm]a=r*\cos\left(\phi\right)[/mm]
[mm]b=r*\sin\left(\phi\right)[/mm]
Werden diese Gleichungn quadriert , so ergibt sich:
[mm]a^{2}+b^{2}=\left(r*\cos\left(\phi\right)\right)^{2}+\left(r*\sin\left(\phi\right)\right)^{2}=r^{2} \Rightarrow r= \ ... [/mm]
Division der beiden Gleichungen ergibt:
[mm]\bruch{b}{a}=\bruch{r*\sin\left(\phi\right)}{r*\cos\left(\phi\right)}=\bruch{\sin\left(\phi\right)}{\cos\left(\phi\right)}=\tan\left(\phi\right)\Rightarrow \phi= \ ...[/mm]
>
> Danke nochmal,
> Princess
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Sa 09.04.2011 | | Autor: | Princess17 |
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