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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: REchnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 Di 24.11.2009
Autor: kagie

Aufgabe
Für welche komplexen Zahlen z gilt
a) [mm] e^{z}=-e [/mm]
b) [mm] e^{z}=-2 [/mm]
c) [mm] e^{z}=i [/mm]
d) [mm] e^{z}=\bruch{1+i}{\wurzel{2}} [/mm]

Meine Fragen:
Wie behandele ich die Expotentialfunktion?
Ich wäre für Lösungsansütze dankbar.
Ich weiß, dass [mm] e^{z}=e^{z+2k\pi i} [/mm] ist, kann das aber nicht in Verbindungbringen...
Danke.
Kagie
        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:43 Mi 25.11.2009
Autor: Herby

Hallo Kagie,

ich weiß im Augenblick nicht, wie ich dir das erklären soll [keineahnung]

Ich probiere mal die zweite Gleichung und vielleicht verstehst du dann wie die anderen funktionieren

[mm] e^z=-2 [/mm]

Dein [mm] e^z [/mm] muss also -2 ergeben, was aber nichts anderes ist als (-1)*2. Der Term besteht also aus den beiden Faktoren "-1" und "2".

Zunächst brauchen wir "-1" --- diese ergibt sich aus:

[mm] e^{i*\varphi}=\underbrace{\cos(\varphi)}_{=-1}+\underbrace{i*\sin(\varphi)}_{=0}=-1 [/mm]

Nun überleg' mal wie unser [mm] \varphi [/mm] lauten könnte.

Als zweiten Faktor brauchen wir eine "2" und den erhält man mit [mm] e^{ln(2)}=2 [/mm]

Also lautet die Lösung für [mm] e^z=-2:\quad z=e^{i*\varphi+ln(2)}=e^{i*\varphi}*e^{ln(2)}=-2 [/mm]

Damit lautet [mm] z=ln(2)+i*\varphi [/mm]  (das [mm] \varphi=.... [/mm] ist halt noch dein Job) :-)


Liebe Grüße
Herby
Bezug
                
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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:29 Mi 25.11.2009
Autor: felixf

Hallo Herby!

> Also lautet die Lösung für [mm]e^z=-2:\quad z=e^{i*\varphi+ln(2)}=e^{i*\varphi}*e^{ln(2)}=-2[/mm]
>  
> Damit lautet [mm]z=ln(2)+i*\varphi[/mm]  (das [mm]\varphi=....[/mm] ist halt
> noch dein Job) :-)

Vorsicht: das ist eine Loesung. Es gibt noch unendlich viele anderen; wie man auf die kommt hat Kagie aber schon selber geschrieben.

LG Felix

Bezug
                        
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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:34 Mi 25.11.2009
Autor: Herby

Hallo Felix,

> Hallo Herby!
>  
> > Also lautet die Lösung für [mm]e^z=-2:\quad z=e^{i*\varphi+ln(2)}=e^{i*\varphi}*e^{ln(2)}=-2[/mm]
>  
> >  

> > Damit lautet [mm]z=ln(2)+i*\varphi[/mm]  (das [mm]\varphi=....[/mm] ist halt
> > noch dein Job) :-)
>  
> Vorsicht: das ist eine Loesung. Es gibt noch unendlich
> viele anderen; wie man auf die kommt hat Kagie aber schon
> selber geschrieben.

ich hatte doch [mm] \varphi [/mm] gar nicht auf nur einen Wert eingeschränkt  [haee] -- oder kam das so rüber, dann "Sorry".

Aber jetzt, da du es gesagt hattest - vielleicht will man ja nur den Hauptwert haben und irgendwo in der Aufgabenstellung steht [mm] -\pi \le \varphi \le \pi [/mm]  oder  [mm] 0\le \varphi \le 2*\pi [/mm]  ---   wer weiß das schon.

Lg
Herby
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Komplexe Zahlen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:44 Mi 25.11.2009
Autor: kagie

Hallo.
Schon mal vielen Dank.
Werde mich huete Nachmittag nach der Uni versuchen :-)
LG
Kagie
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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:00 Mi 25.11.2009
Autor: felixf

Hallo Herby!

> > > Also lautet die Lösung für [mm]e^z=-2:\quad z=e^{i*\varphi+ln(2)}=e^{i*\varphi}*e^{ln(2)}=-2[/mm]
> > >  

> > > Damit lautet [mm]z=ln(2)+i*\varphi[/mm]  (das [mm]\varphi=....[/mm] ist halt
> > > noch dein Job) :-)
> >  

> > Vorsicht: das ist eine Loesung. Es gibt noch unendlich
> > viele anderen; wie man auf die kommt hat Kagie aber schon
> > selber geschrieben.
>  
> ich hatte doch [mm]\varphi[/mm] gar nicht auf nur einen Wert
> eingeschränkt  [haee] -- oder kam das so rüber, dann
> "Sorry".

Du schriebst von der Loesung, deswegen bin ich wohl davon ausgegangen dass du genau eine meinst. Da haben wir wohl aneinander vorbeigeschrieben ;)

LG Felix

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