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Hallo!
Ich bin seit kurzem Student und muss mich infolge dessen nun mit der Analysis herumschlagen ;).
Nun habe ich ein Problem mit folgender Aufgabe aus meinem Skriptum:
Es sei [mm] 0\not=a\in \IC. [/mm] Bestimmen sie alle [mm] 0\not=b\in\IC [/mm] mit Betrag von a+b = Betrag von a + Betrag von b (denkt man sich die Betragsstriche als eckige Klammer sieht das also so aus: [a+b]=[a]+[b])
Sieht eigentlich ganz einfach aus, aber da ich null Erfahrung im Umgang mit komplexen Zahlen hab (vor einem Monat kannte ich den Begriff noch nicht mal) komme ich da nicht mit zu Rande. Es wäre nett wenn ihr mir da helfen könntet,
Gruß David_Lynch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mo 19.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo David,
aus
[mm]|a+b|^2 = (a+b) \cdot \overline{(a+b)} = a\bar{a} + a\bar{b} + b\bar{a} + b\bar{b} = |a|^2 + 2Re(a\bar{b}) + |b|^2[/mm]
folgt:
[mm]|a+b| = |a| + |b| \Leftrightarrow Re(a\bar{b})=|a|\cdot |b|[/mm].
Nun gilt aber:
[mm]Re(a\bar{b}) = |a|\cdot |b| \cdot cos(Arg(a)-Arg(b))[/mm]
und daher:
[mm]Re(a\bar{b}) = |a|\cdot |b| \Leftrightarrow Arg(a) = Arg(b)[/mm].
Also: Es gilt [mm]|a+b|=|a|+|b|[/mm] genau dann, wenn [mm]a=tb[/mm] mit einem [mm]t \ge 0[/mm].
Wenn du Fragen dazu hast, melde dich bitte wieder.
Liebe Grüße
Stefan
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Vielen Dank erstmal!
Eine Frage habe ich aber tatsächlich noch:
Was genau bedeutet dieses Arg(a), bzw Arg(b)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Di 20.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo David,
mit [mm]Arg(z)[/mm] meine ich den (auf die negative reelle Achse einseitig fortgesetzten) Hauptzweig des Argumentes einer komplexen Zahl, also denjenigen Winkel [mm]Arg(z) \in (-\pi,+\pi][/mm], für den (in Polarkoordinaten)
[mm] z = |z|\cdot e^{i\cdot Arg(z)}[/mm]
gilt. Man kann [mm]Arg(z)[/mm] wie folgt angeben:
Falls [mm]Re(z)=0[/mm] ist, setzt man:
[mm]Arg(z) = \frac{\pi}{2}[/mm],
falls [mm]Im(z)>0[/mm] ist,
und:
[mm]Arg(z) = - \frac{\pi}{2}[/mm],
falls [mm]Im(z)<0[/mm] ist.
Falls [mm]Re(z)>0[/mm] gilt, setzt man:
[mm]Arg(z) = \arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)[/mm].
Falls [mm]Re(z)<0[/mm] gilt, setzt man:
[mm]Arg(z) = \arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right) + \pi[/mm],
falls [mm]Im(z)>0[/mm] ist,
und:
[mm]Arg(z) = \arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right) - \pi[/mm],
falls [mm]Im(z)<0[/mm] ist.
Für [mm]Im(z)=0[/mm] setzt man [mm]Arg(z)=0[/mm], falls [mm]Re(z)\ge 0[/mm] ist und [mm]Arg(z)=\pi[/mm], falls [mm]Re(z)<0[/mm].
Anschaulich ist also [mm]Arg(z)[/mm] der Winkel im Bereich [mm](-\pi,\pi][/mm], den [mm]z[/mm], als Vektor aufgefasst, mit der positiven reellen Achse einnimmt.
Viele Grüße
Stefan
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