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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 Mi 09.02.2005 | | Autor: | B777 |
Moin,
brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Welche Punktmenge von Punkten z in der komplexen Zahlenebene wird durch die Gleichung
Im z-1/z+i = 0
beschrieben?
Ich weiß zum einen nicht was mit "Punktmenge" gemeint ist und zum anderen nicht, wie man überhaupt hier ansetzt.
Wäre für jede brauchbare Idee dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi, B777,
also ich würde folgendermaßen an die Aufgabe "rangehen":
Jede komplexe Zahl lässt sich mit reellen Zahlen a, b so schreiben: a+bi.
Nun soll bei Deinem Bruch der Imaginärteil =0 sein, heißt: b=0, also:
[mm] \bruch{z-1}{z+i} [/mm] = a (mit reeller Zahl a) (***)
(1) Der Fall z=-i wird zunächst ausgeschlossen.
(2) Löst man (***) nach z auf, erhält man:
[mm] z=\bruch{1+ai}{1-a} [/mm] für a [mm] \not= [/mm] 1 (Bitte nachrechnen!)
oder auch: z= [mm] \bruch{1}{1-a} [/mm] + [mm] \bruch{a}{1-a}*i
[/mm]
Die Frage, ob diese Punktmenge "irgendwas Besonderes" darstellt, kann ich jetzt leider nicht beantworten!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mi 09.02.2005 | | Autor: | B777 |
Vielen Dank zunächst für diese Idee. Mir leuchtet das alles ziemlich ein.
Wenn sonst jemand noch eine Idee hat, kann er ja noch was dazu sagen.
Auf jeden Fall danke, zwerglein!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Mi 09.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Hi, B777,
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> also ich würde folgendermaßen an die Aufgabe "rangehen":
> Jede komplexe Zahl lässt sich mit reellen Zahlen a, b so
> schreiben: a+bi.
> Nun soll bei Deinem Bruch der Imaginärteil =0 sein, heißt:
> b=0, also:
> [mm]\bruch{z-1}{z+i}[/mm] = a (mit reeller Zahl a) (***)
> (1) Der Fall z=-i wird zunächst ausgeschlossen.
> (2) Löst man (***) nach z auf, erhält man:
>
> [mm]z=\bruch{1+ai}{1-a}[/mm] für a [mm]\not=[/mm] 1 (Bitte nachrechnen!)
> oder auch: z= [mm]\bruch{1}{1-a}[/mm] + [mm]\bruch{a}{1-a}*i
[/mm]
>
> Die Frage, ob diese Punktmenge "irgendwas Besonderes"
> darstellt, kann ich jetzt leider nicht beantworten!
Wenn du die komplexen Zahlen in der Gausschen Ebene (xy-Ebene) darstellst,
dann hast du oben eine Parameterdarstellung einer Kurve (mit Parameter a).
Re(z): [mm] $x=\frac{1}{1-a}$
[/mm]
Im(z): [mm] $y=\frac{a}{1-a}$
[/mm]
Eliminieren des Parameters aus diesen beiden Gleichungen führt zu einer Kurvengleichung.
Die erste Gleichung nach a aufgelöst ergibt [mm] $a=1-\frac [/mm] 1x$
und in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt $y=x-1$.
Die Punkte liegen auf einer Geraden. (Man muss noch nachprüfen, ob wirklich jeder Punkt der Geraden dazugehört.)
mfG Moudi
>
> mfG!
> Zwerglein
>
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Hallo, B777
Was bedeutet es für den Winkel einer Komplexen Zahl z wenn Ihr Imaginärteil 0 ist?
Was geschieht bei der Division zweier komplexen Zahlen mit den Winkeln?
Für die Tangens der Winkel gibt es sehr einfache Formeln.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Mal ein Ansatz, der dem von Zwerglein ähnelt:
Sei $z=x+i*y$ ($x,y [mm] \in \IR$, $z\not=-\,i$).
[/mm]
Nun berechnen wir zunächst:
[mm] $\mbox{Im}\left(\frac{z-1}{z+i}\right)$.
[/mm]
Es gilt:
[mm]\frac{z-1}{z+i}
=\frac{x+i*y-1}{x+i*y+i}
=\frac{(x-1)+i*y}{x+i*(y+1)}
=\frac{((x-1)+i*y)*(x-i*(y+1))}{(x+i*(y+1))*\underbrace{(x-i*(y+1))}_{\not=0;da\;z\not=-\,i}}[/mm]
[mm]=\frac{(x-1)*x-i(y+1)*(x-1)+i*xy+y*(y+1)}{x^2+(y+1)^2}
=\frac{[x*(x-1)+y*(y+1)]+i*[xy-(y+1)*(x-1)]}{x^2+(y+1)^2}[/mm]
[mm]=\frac{[x*(x-1)+y*(y+1)]+i*[y-x+1]}{x^2+(y+1)^2}[/mm]
Daraus folgt (für [mm] $z\not=-\,i$, [/mm] $z=x+i*y$):
[mm]
\mbox{Im}\left(\frac{z-1}{z+i}\right)
=\frac{y+1-x}{x^2+(y+1)^2}[/mm]
Also gilt für [mm] $z\not=-\,i$, [/mm] $z=x+i*y$, $x,y [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $\mbox{Im}\left(\frac{z-1}{z+i}\right)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$y-x+1=0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$y=x-1$
Also ist das geometrisch nichts anderes als die Menge aller Punkte, die durch die Geradengleichung $y=x-1$ (in [mm] $\IC\cong \IR^2$) [/mm] beschrieben wird, wobei allerdings $x [mm] \not=0$ [/mm] gelten muss (da andernfalls $y=-1$ und damit [mm] $z=-\,i$ [/mm] wäre).
Also:
[mm]\mbox{Im}\left(\frac{z-1}{z+i}\right)=0[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]z=\vektor{\mbox{Re}(z)\\ \mbox{Im}(z)} \in \left\{\vektor{a\\b} \in \IC:\;b=a-1; a \in \IR \setminus\{0\}\right\}=\left\{r*\vektor{1\\1}+\vektor{0\\-1}:\;r \in \IR \setminus\{0\}\right\}[/mm]
(Hierbei: [mm] $x=\mbox{Re}(z)$, $y=\mbox{Im}(z)$.)
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mi 09.02.2005 | | Autor: | B777 |
Klasse, ich danke euch! Bin begeistert!
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