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Komplexe Zahlen: Kreislinie / Gerade
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Do 05.06.2008
Autor: Pacapear

Aufgabe
Zeige, dass für [mm] a,c\in\IR, b\in\IC, [/mm] die Menge M={ [mm] z\in\IC:az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0 [/mm] } eine Kreislinie oder eine Gerade ist, wenn [mm] ac-|b|^2<0 [/mm] ist.
Was ist M, wenn dies positiv oder 0 ist?

Hallo zusammen!

Ich habe hier wieder eine Aufgabe, zu der ich zwar eine Lösung habe, zu der ich allerdings noch einige Fragen habe.

Kann mir jemand helfen?



Lösung

Sei z=x+iy, [mm] b=b_1+ib_2. [/mm]
Man unterscheide zwei Fälle: [mm] a\not=0 [/mm] und a=0.



Fall 1

[mm] a\not=0 [/mm]
Dann gilt:

[mm] z\in\ [/mm] M

[mm] \gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0 [/mm]

[mm] \gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a}+c=0 [/mm]

[mm] \gdw a(z\overline{z}+z\bruch{b}{a}+\overline{z}\bruch{\overline{b}}{a}+\bruch{|b|^2}{a})-\bruch{|b|^2}{a^2}+c=0 [/mm]

[mm] \gdw a(z+\bruch{\overline{b}}{a})(\overline{z}+\bruch{b}{a})=\bruch{|b|^2}{a^2}-c [/mm]

[mm] \gdw |z-(-\bruch{\overline{b}}{a})|=\bruch{1}{a^2}(|b|^2-ca) [/mm] (*)

[mm] \Rightarrow [/mm] M ist eine Kreislinie mit Mittelpunkt [mm] -\bruch{\overline{b}}{a}, [/mm] also [mm] (-\bruch{b_1}{a},\bruch{b_2}{a}), [/mm] und Radius [mm] \bruch{1}{a}\wurzel{|b|^2-ac}. [/mm]

Die Wurzel ist gültig, da [mm] ac-|b|^2<0 [/mm] nach Voraussetzung, und somit [mm] |b|^2-ac>0. [/mm]

Falls nun [mm] ac-|b|^2=0, [/mm] so folgt aus (*): [mm] M={-\bruch{\overline{b}}{a}}, [/mm] also nur ein Punkt.

Falls nun [mm] ac-|b|^2>0, [/mm] so folgt aus (*): M={}.



Fall 2

a=0
Dann gilt:

[mm] z\in\ [/mm] M

[mm] \gdw bz+\overline{bz}+c=0 [/mm]

[mm] \gdw [/mm] 2Re(bz)+c=0

[mm] \gdw [/mm] 2b_1x-2b_2y+c=0

Unterfall 2a)

[mm] b_2\not=0 \Rightarrow y=\bruch{b_1}{b_2}x+\bruch{c}{b_2*c} [/mm]
M ist eine Gerade.

Unterfall 2b)

[mm] b_2=0 \Rightarrow b_1\not=0, [/mm] da [mm] -|b|^2<0 \Rightarrow x=-\bruch{c}{2b_1} [/mm]
M ist eine Gerade.

Falls [mm] -|b|^2\ge0 \Rightarrow [/mm] b=0 [mm] \Rightarrow M={z\in\IC:c=0}=\begin{cases} Leere Menge, & \mbox{für } c\not=0 \mbox{ } \\ \IC, & \mbox{für } c=0 \mbox{ } \end{cases} [/mm]



Fragen

1) Warum muss ich überhaupt eine Fallunterscheidung machen und warum unterscheide ich gerade zwischen a=0 und [mm] a\not=0? [/mm]

2) Die Rechnung in Fall 1 ist mir soweit klar. Warum allerdings muss ich eine 0 einfügen in der Form von [mm] +\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a} [/mm] und wie komme ich auf diese Idee?

3) Wieso steht vor der Rechnung noch [mm] z\in [/mm] M [mm] \gdw? [/mm]

4) Der Fall 2 ist mir nicht mehr so ganz klar. Funktionieren Geradengleichungen im Komplexen genauso wie im Reellen? Ich meine, da geht das doch nicht mehr so wirklich mit Steigung und y-Achsen-Abschnitt und so. Aber in Unterfall 2a) habe ich ja quasi eine reelle Geradengleichung stehen, y und x sind ja reell, weil es die Komponenten der Komplexen Zahl z sind. Das ist doch dann keine komplexe Gerade mehr, oder? Wie könnte ich so eine reelle Gerade in [mm] \IC [/mm] zeichnen?

5) Warum überhaupt muss ich in Fall 2 schonwieder eine Fallunterscheidung machen?

6) Unterfall 2b) versteh ich gar nicht [nixweiss] Warum folgt aus [mm] b_2=0 [/mm] das [mm] b_1\not=0 [/mm] und was hat das mit [mm] -|b|^2<0 [/mm] zu tun?

7) Wieso ist [mm] x=-\bruch{c}{2b_1} [/mm] eine Gerade? Im reellen wäre es keine, oder? Weil ja das y weg ist. Im Endeffekt ist das im Reellen doch eine Parallele zur y-Achse, oder? Aber wie sieht das jetzt im Komplexen aus? Anschaulich [und auch sonst] ist mir das völlig unklar.

8) Mit dem Falls [mm] -|b|^2\ge0 [/mm] kann ich gar nicht anfangen. Kann mir den vielleicht jemand erklären?



Bin für jede Hilfe sehr sehr dankbar!

LG, Nadine

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Do 05.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Nadine,

das scheint ja schon alles schön ausgearbeitet zu sein...
Ich versuche, wenigstens auf ein paar deiner Fragen einzugehen.


> Zeige, dass für [mm]a,c\in\IR, b\in\IC,[/mm] die Menge
> [mm]\ M=\{z\in\IC:az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0 \} [/mm] eine
> Kreislinie oder eine Gerade ist, wenn [mm]ac-|b|^2<0[/mm] ist.
>  Was ist M, wenn dies positiv oder 0 ist?

>  Hallo zusammen!
>  
> Ich habe hier wieder eine Aufgabe, zu der ich zwar eine
> Lösung habe, zu der ich allerdings noch einige Fragen
> habe.
>  
> Kann mir jemand helfen?
>  
>
> Lösung
>  
> Sei z=x+iy, [mm]b=b_1+ib_2.[/mm]
>  Man unterscheide zwei Fälle: [mm]a\not=0[/mm] und a=0.
>  
>
>
> Fall 1
>  
> [mm]a\not=0[/mm]
>  Dann gilt:
>  
> [mm]z\in\[/mm] M
>  
> [mm]\gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0[/mm]
>  
> [mm]\gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a}+c=0[/mm]
>  
> [mm]\gdw a(z\overline{z}+z\bruch{b}{a}+\overline{z}\bruch{\overline{b}}{a}+\bruch{|b|^2}{a})-\bruch{|b|^2}{a^2}+c=0[/mm]
>  
> [mm]\gdw a(z+\bruch{\overline{b}}{a})(\overline{z}+\bruch{b}{a})=\bruch{|b|^2}{a^2}-c[/mm]
>  
> [mm]\gdw |z-(-\bruch{\overline{b}}{a})|=\bruch{1}{a^2}(|b|^2-ca)[/mm]
> (*)
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] M ist eine Kreislinie mit Mittelpunkt
> [mm]-\bruch{\overline{b}}{a},[/mm] also
> [mm](-\bruch{b_1}{a},\bruch{b_2}{a}),[/mm] und Radius
> [mm]\bruch{1}{a}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm]
>  
> Die Wurzel ist gültig, da [mm]ac-|b|^2<0[/mm] nach Voraussetzung,
> und somit [mm]|b|^2-ac>0.[/mm]
>  
> Falls nun [mm]ac-|b|^2=0,[/mm] so folgt aus (*):
> [mm]M={-\bruch{\overline{b}}{a}},[/mm] also nur ein Punkt.
>  
> Falls nun [mm]ac-|b|^2>0,[/mm] so folgt aus (*): M={}.
>  
>
>
> Fall 2
>  
> a=0
>  Dann gilt:
>  
> [mm]z\in\[/mm] M
>  
> [mm]\gdw bz+\overline{bz}+c=0[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm] 2Re(bz)+c=0
>  
> [mm]\gdw[/mm] 2b_1x-2b_2y+c=0
>  
> Unterfall 2a)
>  
> [mm]b_2\not=0 \Rightarrow y=\bruch{b_1}{b_2}x+\bruch{c}{b_2*c}[/mm]
>  
> M ist eine Gerade.
>  
> Unterfall 2b)
>  
> [mm]b_2=0 \Rightarrow b_1\not=0,[/mm] da [mm]-|b|^2<0 \Rightarrow x=-\bruch{c}{2b_1}[/mm]
>  
> M ist eine Gerade.
>  
> Falls [mm]-|b|^2\ge0 \Rightarrow[/mm] b=0 [mm]\Rightarrow M={z\in\IC:c=0}=\begin{cases} Leere Menge, & \mbox{für } c\not=0 \mbox{ } \\ \IC, & \mbox{für } c=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>  
>
>
> Fragen
>  
> 1) Warum muss ich überhaupt eine Fallunterscheidung machen
> und warum unterscheide ich gerade zwischen a=0 und
> [mm]a\not=0?[/mm]

Es handelt sich prinzipiell um eine quadratische Gleichung,
weil [mm] z\overline{z} [/mm] drinsteckt. Mit  a=0 , also eigentlich ohne
das Glied  [mm] a*z\overline{z} [/mm]  ist es eine lineare Gleichung,
die ohnehin (im Regelfall) auf einen linearen Graph führt.
  

> 2) Die Rechnung in Fall 1 ist mir soweit klar. Warum
> allerdings muss ich eine 0 einfügen in der Form von
> [mm]+\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a}[/mm] und wie komme ich auf
> diese Idee?

Das ist analog zur quadratischen Ergänzung in der Herleitung
der  "abc - Formel" für die reelle quadratische Gleichung.
Ziel:  Links soll so etwas wie eine vollständige binomische
Formel entstehen. Schau dir die folgenden beiden Zeilen an,
die motivieren gewissermassen den Schritt.

(Zur Beruhigung: auch dein Prof ist vermutlich nicht der
Erfinder dieser Methode, er hat sie auch irgendwann gelernt
und musste sie vor der Vorlesung nochmals nachschlagen...)
  

> 3) Wieso steht vor der Rechnung noch [mm]z\in[/mm] M [mm]\gdw[/mm]   ?

M ist ja die gesuchte Punktmenge jener komplexen Zahlen,
welche die Gleichung erfüllen.

[mm]z\ \in[/mm] M  [mm]\gdw\quad az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0[/mm]

heisst einfach:  "z ist Element der Punktmenge  M  genau dann wenn  z  die
folgende Gleichung  erfüllt".

  

> 4) Der Fall 2 ist mir nicht mehr so ganz klar.
> Funktionieren Geradengleichungen im Komplexen genauso wie
> im Reellen? Ich meine, da geht das doch nicht mehr so
> wirklich mit Steigung und y-Achsen-Abschnitt und so. Aber
> in Unterfall 2a) habe ich ja quasi eine reelle
> Geradengleichung stehen, y und x sind ja reell, weil es die
> Komponenten der Komplexen Zahl z sind. Das ist doch dann
> keine komplexe Gerade mehr, oder? Wie könnte ich so eine
> reelle Gerade in [mm]\IC[/mm] zeichnen?

Zuerst einmal:
Es gibt ja eigentlich weder "komplexe" noch "relle" Geraden !
Es geht hier um Geraden in der x-y-Ebene. Und hier hat man
die Wahl, ob man einen einzelnen Punkt durch zwei reelle
Koordinaten x,y   oder durch  eine "komplexe" Zahl  z = x+iy
beschreiben will...
Im Unterfall 2a)  liegt ja schon eine "gewohnte" Form der
Geradengleichung vor, nämlich  y=m*x+b.
Eine Geradengleichung wie etwa   y= 2x+4  könnte man
auch in eine "komplexe" Gleichung für  z  umsetzen.  

  

> 5) Warum überhaupt muss ich in Fall 2 schon wieder eine
> Fallunterscheidung machen?

[mm] b_2=0 [/mm] hätte zur Folge, dass die nachfolgenden Terme
mit [mm] b_2 [/mm] im Nenner nicht definiert wären!  also erfordert
der Unterfall [mm] b_2=0 [/mm] eine Spezialbehandlung.
  

> 6) Unterfall 2b) versteh ich gar nicht [nixweiss] Warum
> folgt aus [mm]b_2=0[/mm] das [mm]b_1\not=0[/mm] und was hat das mit [mm]-|b|^2<0[/mm]
> zu tun?

Im Fall  b  (und damit auch im Unterfall  2b)  ist ja  a=0 und deshalb  ac=0 und
wegen der Voraussetzung   [mm]ac-|b|^2<0[/mm]  dann auch   [mm]-|b|^2<0[/mm].
Damit ist garantiert, dass  |b|>0. Es können also nicht beide Komponenten
von b gleich null sein.  
  

> 7) Wieso ist [mm]x=-\bruch{c}{2b_1}[/mm] eine Gerade?

Es ist einfach eine Parallele zur  y-Achse oder imaginären Achse.

> Im reellen
> wäre es keine, oder? Weil ja das y weg ist. Im Endeffekt
> ist das im Reellen doch eine Parallele zur y-Achse, oder?

Ja, ganz genau.

> Aber wie sieht das jetzt im Komplexen aus? Anschaulich [und
> auch sonst] ist mir das völlig unklar.

Aussehen tut es genau gleich - ob mit reellen oder komplexen
Gleichungen dargestellt.

>  
> 8) Mit dem Falls [mm]-|b|^2\ge0[/mm] kann ich gar nicht anfangen.
> Kann mir den vielleicht jemand erklären?

In der Aufgabe war ja noch die Zusatzfrage, was M sei, wenn die
"Diskriminante"  grösser oder gleich null sei. Im Fall b), also wenn
a=0, bedeutet dies, dass man sich jetzt noch die Möglichkeiten  [mm] -|b|^2>0 [/mm]
oder  [mm] -|b|^2 [/mm] = 0  klar machen muss.  Das erste ist unmöglich, das zweite führt auf
b=0.  Dann hätten wir also  a=0 und b=0.  Dann kommt's schliesslich noch
darauf an, ob  c  auch noch null ist oder nicht...

>  
>
> Bin für jede Hilfe sehr sehr dankbar!
>  
> LG, Nadine


...und ich danke dir für die präzise gestellten
und gut dargestellten Fragen!

gute Nacht !

al-Chwarizmi


Nachbemerkung:

Ich habe nicht alle Rechnungen im Einzelnen überprüft,
aber in den Umformungen bei Fall 1  gibt es jedenfalls
einzelne (kleine) Unstimmigkeiten !


Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen: Geradengleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 So 08.06.2008
Autor: Pacapear

Hallo al-Chwarizmi!



Recht herzlichen Dank für deine Hilfe!



> (Zur Beruhigung: auch dein Prof ist vermutlich nicht der
> Erfinder dieser Methode, er hat sie auch irgendwann gelernt
> und musste sie vor der Vorlesung nochmals nachschlagen...)

Gut zu wissen :-)
Blöd nur, wenn man zum Lösen der Übungsaufgabe selber drauf kommen muss, deshalb meine Frage.



Hierzu hab ich dann doch nochmal eine Frage:



> Zuerst einmal:
> Es gibt ja eigentlich weder "komplexe" noch "relle"
> Geraden !
> Es geht hier um Geraden in der x-y-Ebene.

> Und hier hat man  die Wahl, ob man einen einzelnen Punkt durch zwei
> reelle
>  Koordinaten x,y   oder durch  eine "komplexe" Zahl  z =
> x+iy
>  beschreiben will...

Also der Punkt (a,b) in der x-y-Ebene hat die reelle x-Koordinate a und die reelle y-Koordinate b bzw. die komplexe Zahl z=a+ib?

>  Im Unterfall 2a)  liegt ja schon eine "gewohnte" Form der
>  Geradengleichung vor, nämlich  y=m*x+b.

>  Eine Geradengleichung wie etwa   y= 2x+4  könnte man
>  auch in eine "komplexe" Gleichung für  z  umsetzen.

Und wie genau würde ich eine solche Geradengleichung y= 2x+4 dann umsetzen?
Würde ich mir wie im reellen einfach eine reelle x-Koordinate suchen, einsetzen und dann eine reelle y-Koordinate erhalten?
Dann bekäm ich einen Punkt (x,y) bzw. die komplexe Zahl z=x+iy?



LG, Nadine




Bezug
                        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 So 08.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> ..........
> Hierzu hab ich dann doch nochmal eine Frage:
>  
> > Zuerst einmal:
>  > Es gibt ja eigentlich weder "komplexe" noch "relle"

> > Geraden !
>  > Es geht hier um Geraden in der x-y-Ebene.

>  
> > Und hier hat man  die Wahl, ob man einen einzelnen Punkt
> durch zwei
>  > reelle

>  >  Koordinaten x,y   oder durch  eine "komplexe" Zahl  z =
> > x+iy
>  >  beschreiben will...
>  
> Also der Punkt (a,b) in der x-y-Ebene hat die reelle
> x-Koordinate a und die reelle y-Koordinate b bzw. die
> komplexe Zahl z=a+ib?

                   Ja.
  

> >  Im Unterfall 2a)  liegt ja schon eine "gewohnte" Form der

>  >  Geradengleichung vor, nämlich  y=m*x+b.
>  
> >  Eine Geradengleichung wie etwa   y= 2x+4  könnte man

>  >  auch in eine "komplexe" Gleichung für  z  umsetzen.
>
> Und wie genau würde ich eine solche Geradengleichung y=
> 2x+4 dann umsetzen?
>  Würde ich mir wie im reellen einfach eine reelle
> x-Koordinate suchen, einsetzen und dann eine reelle
> y-Koordinate erhalten?
>  Dann bekäm ich einen Punkt (x,y) bzw. die komplexe Zahl
> z=x+iy?


hallo Nadine,

ich habe schon fast damit gerechnet, dass du diese Frage
noch stellen wirst.

Wegen  Re(z)=x  und  Im(z)=y  könnte man die Geraden-
gleichung  y= 2*x+4  zuerst einmal einfach so schreiben:

        Im(z)=2*Re(z)+4

Komplexe "Puristen" würden dies aber vielleicht noch nicht
akzeptieren. So wie in der Aufgabenstellung, von der wir aus-
gegangen sind, ist aber der Begriff der konjugiert komplexen
Zahl fest etabliert...

Nun gelten die Gleichungen  [mm] Re(z)=\bruch{z+\overline{z}}{2} [/mm] und  [mm] Im(z)=\bruch{z-\overline{z}}{2*i} [/mm]

Mittels dieser Gleichungen kann man die obige Gleichung
umformen mit dem Ergebnis:

           [mm] (2*i-1)*z+(2*i+1)*\overline{z}+8*i=0 [/mm]

(falls ich keinen Rechenfehler gemacht habe...)


Es scheint aber, dass die gewohnten Geradengleichungen
im [mm] \IR^2 [/mm]  eher praktischer sind.


LG      Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen: Diskriminante
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mi 11.06.2008
Autor: Pacapear

Hallo Al-Chwarizmi!



> In der Aufgabe war ja noch die Zusatzfrage, was M sei, wenn die
> "Diskriminante"  grösser oder gleich null sei. Im Fall b), also wenn
> a=0, bedeutet dies, dass man sich jetzt noch die Möglichkeiten  $  [mm] -|b|^2>0 [/mm] $
> oder  $ [mm] -|b|^2 [/mm] $ = 0  klar machen muss.  Das erste ist unmöglich, das zweite führt auf
> b=0.  Dann hätten wir also  a=0 und b=0.  Dann kommt's schliesslich > noch
> darauf an, ob  c  auch noch null ist oder nicht...



Ich habe zu dem Fall [mm] ac-|b|^2>0\gdw -|b|^2>0 [/mm] noch eine kurze Frage.

Also dieser Fall ist doch unmöglich, weil [mm] -|b|^2>0 [/mm] auf [mm] |b|^2<0 [/mm] führt, und das führt auf |b|<0, und das kann ja nicht sein, weil der Betrag immer größer-gleich 0 ist, oder?

Ist mein Ergebnis dann in diesem Fall M={ }?



LG, Nadine

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mi 11.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Ist mein Ergebnis dann in diesem Fall M={ }?

  

> LG, Nadine


              klar !      [winken]

Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahlen: Umformung (Fall a>0)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Fr 06.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi

moin Nadine,

ich hab' Fall 1 nochmals durchgesehen:


> Zeige, dass für [mm]a,c\in\IR, b\in\IC,[/mm] die Menge

> [mm]\ M = \{z\in\IC:az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0 \}[/mm]

> eine  Kreislinie oder eine Gerade ist, wenn  [mm]ac-|b|^2<0[/mm] ist.

>  Was ist M, wenn dies positiv oder 0 ist?
>
>
> Lösung
>  
> Sei z=x+iy, [mm]b=b_1+ib_2.[/mm]

> Man unterscheide zwei Fälle:  [mm]a\not=0[/mm] und a=0.
>  
>
> Fall 1
>  
> [mm]a\not=0[/mm]
>  Dann gilt:
>  
> [mm]z\in\[/mm] M
>  
> [mm]\gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0[/mm]              [ok]
>  
> [mm]\gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a}+c=0[/mm]              [ok]
>  
> [mm]\gdw a(z\overline{z}+z\bruch{b}{a}+\overline{z}\bruch{\overline{b}}{a}+\bruch{|b|^2}{a})-\bruch{|b|^2}{a^2}+c=0[/mm]      [notok]

müsste heissen:

                [mm]a(z\overline{z}+z\bruch{b}{a}+\overline{z}\bruch{\overline{b}}{a}+\bruch{|b|^2}{a^2})-\bruch{|b|^2}{a}+c=0[/mm]    
  

> [mm]\gdw a(z+\bruch{\overline{b}}{a})(\overline{z}+\bruch{b}{a})=\bruch{|b|^2}{a^2}-c[/mm]      [notok]

das wäre dann:

                [mm]a(z+\bruch{\overline{b}}{a})(\overline{z}+\bruch{b}{a})=\bruch{|b|^2}{a}-c[/mm]

  

> [mm]\gdw |z-(-\bruch{\overline{b}}{a})|=\bruch{1}{a^2}(|b|^2-ca)[/mm]        [notok]    

richtig:

                [mm]\gdw |z-(-\bruch{\overline{b}}{a})|^2 =\bruch{1}{a^2}(|b|^2-ca)[/mm]      (*)

>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] M ist eine Kreislinie mit Mittelpunkt
> [mm]-\bruch{\overline{b}}{a},[/mm] also
> [mm](-\bruch{b_1}{a},\bruch{b_2}{a}),[/mm] und Radius
> [mm]\bruch{1}{a}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm]

wenn man's ganz pingelig sieht:

                [mm] r = \bruch{1}{|a|}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm]      (damit [mm] r\ge [/mm] 0 !)

>  
> Die Wurzel ist gültig, da [mm]ac-|b|^2<0[/mm] nach Voraussetzung,
> und somit [mm]|b|^2-ac>0.[/mm]
>  
> Falls nun [mm]ac-|b|^2=0,[/mm] so folgt aus (*):
> [mm]M={-\bruch{\overline{b}}{a}},[/mm] also nur ein Punkt.
>  
> Falls nun [mm]ac-|b|^2>0,[/mm] so folgt aus (*): M={}.
>  


so, ich hoff', das wars...

LG      al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 So 08.06.2008
Autor: Pacapear

Hallo al-Chwarizmi!



> ich hab' Fall 1 nochmals durchgesehen:

Vielen Dank! Da scheinen sich ein paar Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen zu haben [weisswerd]



> > [mm]\Rightarrow[/mm] M ist eine Kreislinie mit Mittelpunkt
> > [mm]-\bruch{\overline{b}}{a},[/mm] also
> > [mm](-\bruch{b_1}{a},\bruch{b_2}{a}),[/mm] und Radius
> > [mm]\bruch{1}{a}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm]



> wenn man's ganz pingelig sieht:
>  
> [mm]r = \bruch{1}{|a|}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm]      (damit [mm]r\ge[/mm] 0 !)



Um ehrlich zu sein, sehe ich nicht wirklich einen Unterschied [nixweiss]

Ist es nicht egal, ob ich schreibe >> Der Radius ist (gleich) 97,6 << oder >> r=97,6 <<

[Frei erfundene Zahlen :-)]



LG, Nadine

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 So 08.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi

  
> > wenn man's ganz pingelig sieht:
>  >  
> > [mm]r = \bruch{1}{|a|}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm]      (damit [mm]r\ge[/mm] 0 !)
>  
>  
> Um ehrlich zu sein, sehe ich nicht wirklich einen
> Unterschied [nixweiss]
>  
> Ist es nicht egal, ob ich schreibe >> Der Radius ist
> (gleich) 97,6 << oder >> r=97,6 <<
>  

Es geht nur um das Vorzeichen. Der Radius  r  soll  [mm] \ge [/mm] 0  sein.
Ohne die Betragszeichen könnte  r  negativ werden (wenn a<0).

[winken]      Al-Chwarizmi

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Komplexe Zahlen: M ist leere Menge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 So 08.06.2008
Autor: Pacapear

Hallo al-Chwarizmi!



> Falls nun [mm]ac-|b|^2>0,[/mm] so folgt aus (*): M={}.



Ich habe zu diesem Fall grad noch mal eine Frage:

[mm] ac-|b|^2>0 [/mm] kann ich ja umformen zu [mm] |b|^2-ac<0. [/mm]

Ich dachte nun, dass M deshalb die leere Menge ist, weil die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl nicht definiert ist

[ [mm] |b|^2, [/mm] a, c sind ja reelle Zahlen].

Aber wir sind doch im Komplexen, da kann ich doch auch die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl ziehen.

Z.B. [mm] \wurzel{-3}=\wurzel{(-1)*3}=\wurzel{(-1)}*\wurzel{3}=\wurzel{i^2}*\wurzel{3}=i*\wurzel{3} [/mm]

Oder war das die falsche Begründung dafür, dass M die leere menge ist?



LG, Nadine

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 So 08.06.2008
Autor: HJKweseleit

Natürlich kannst du im Komplexen die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Du hattest aber eine Gleichung, bei der auf der linken Seite der Betrag - also eine reelle Zahl - eines komplexen Ausdrucks stand. Wenn rechts eine nicht-reelle Zahl herauskommt, kann dies kein Betrag sein...

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Komplexe Zahlen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Mi 02.07.2008
Autor: Pacapear

Hallo Al-Chwarizmi!

So, ich hab die Aufgabe nochmal komplett durchgearbeitet und verstanden :-)

Vielen Dank für deine Hilfe!

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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Mi 02.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi

super

noch schönen Abend !      [winken]

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