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| Aufgabe | Hallo, die Aufgabe lautet:
Berechnen Sie die multiplikativen Inversen der folgenden komplexen
Zahlen:
5 + 2i , 7 − i , 1 + 2i .
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I.A. gilt:
(a,b) = a + bi
und
multiplikative Inverse dazu:
[mm] \bruch{a}{a^2 + b^2} [/mm] und [mm] \bruch{-b}{a^2 + b^2}
[/mm]
Kann man jetzt sagen, dass beim ersten Beispiel, also: 5 + 2i a=5 und b=2 ist? Demnach wäre doch die multiplikative Inverse [mm] \bruch{5}{29} [/mm] und [mm] \bruch{-2}{29}, [/mm] oder?
Außerdem, wie kann man überprüfen, ob die errechneten Inversen auch wirklich stimmen?
D.Q.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Du redest von "den" multiplikativen Inversen, was ja nicht sein kann nach den Körperaxiomen.
Du hast a+bi und suchst x+iy so dass (a+bi)(x+iy)=ax-by+i(bx+ay)=1
Es folgt: ax-by=1, by+ay=0 Das ist ein LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.
Auflösen des etwas aufwendigen LGS ergibt [mm] x=\bruch{a}{a^2+b^2} [/mm] sowie [mm] y=\bruch{-b}{a^2+b^2}
[/mm]
Nach Definition von x und y handelt es sich also nicht um 2 Inverse, sondern um Real- und Imaginärteil DES Inversen.
Kommst du nun auf deine Lösungen?
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| Aufgabe | Bedeutet das dann, dass es nur eine Inverse gibt und zwar:
[mm] (\bruch{5}{29} [/mm] + [mm] \bruch{-2}{29}i? [/mm] Also: [mm] (\bruch{5}{29}, \bruch{-2}{29})
[/mm]
Das wäre doch die Inverse zu (5 + 2i) also (5,2), richtig? |
D.Q.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ich würde bevorzugen $ [mm] \bruch{5}{29}- \bruch{2}{29}i [/mm] $ zu schreiben, aber deine Lösung ist absolut korrekt :)
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Hallo Doc,
ich würde nicht nur Formeln anwenden, sondern ihnen auf den Grund gehen. Am ersten Beispiel sähe dies so aus: Das "multiplikative Inverse" der komplexen Zahl z = 5+2i ist nichts anderes als 1/z = 1/(5+2i). Diesen Bruch erweitert man sinnvollerweise mit (5-2i), also der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Man erhält dann nämlich einen neuen Bruch mit einem reellen Nenner, den man dann mittels [mm] i^2 [/mm] = -1 vereinfacht und am Schluss in Real- und Imaginäranteil zerlegt:
1/(5+2i) = 1/(5+2i)*(5-2i)/(5-2i) = (5-2i)/((5+2i)(5-2i)) = [mm] (5-2i)/(25-4i^2) [/mm] = (5-2i)/(25+4) = (5-2i)/29 = 5/29 - 2/29 i
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Und das kann man bei der gegebenen Aufgabentellung auch einfach so hinschreiben, dass man mit 1/(5+2i) anfängt und dann umformt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 So 13.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Stellt doch kein Problem dar, solange nicht 0 im Nenner steht
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