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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Do 10.04.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+iy mit x,y [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo,
stehe ein wenig aufm Schlauch.
Komme mit folgenden beiden "leichten" Aufgaben nicht zurecht. Hoffe ihr könnt mir kurz auf die Sprünge helfen....
(c) [mm] (1+i)^{2008}
[/mm]
(d) [mm] \wurzel[3]{i}
[/mm]
Danke und Grüße
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Hallo Bodo!
zur c) [mm] $(1+i)^{2008} [/mm] = [mm] ((1+i)^2)^{1004}$
[/mm]
zur d) Polarform
Gruß,
Stephan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Do 10.04.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
wenn ich mir doch im Fall d) folgendes betrachte: [mm] i^2= [/mm] -1
i = [mm] (a+bi)^3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] + [mm] 3a^{2}bi [/mm] + [mm] 3abi^2 +bi^3
[/mm]
= [mm] a^3 [/mm] + [mm] 3a^{2}bi [/mm] + 3ab(-1) +(-1)bi
= [mm] a^3 +3a^{2}bi [/mm] -3ab -bi ...
jetzt komm ich nicht mehr weiter...
Anderes Beispiel:
[mm] \wurzel{i}
[/mm]
gleicher Ansatz wie oben:
i [mm] =(a+bi)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] +2abi [mm] +bi^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] +2abi - b = (jetzt PQ Formel) -abi [mm] \pm \wurzel{abi^2 +b} [/mm] = -abi [mm] \pm [/mm] abi + [mm] \wurzel{b}
[/mm]
= x1 = [mm] \wurzel{b} [/mm] und x2 = -2abi + [mm] \wurzel{b}...
[/mm]
stimmt das so?
Bitte um kurze Rückmeldung... Danke...
Grüße
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> Hallo,
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> wenn ich mir doch im Fall d) folgendes betrachte: [mm]i^2=[/mm] -1
>
> i = [mm](a+bi)^3[/mm] = [mm]a^3[/mm] + [mm]3a^{2}bi[/mm] + [mm]3ab^2i^2 +bi^3[/mm]
> = [mm]a^3[/mm] +
> [mm]3a^{2}bi[/mm] + [mm] 3ab^2(-1) [/mm] +(-1)bi
> = [mm]a^3 +3a^{2}bi[/mm] [mm] -3ab^2 [/mm] -bi ...
>
> jetzt komm ich nicht mehr weiter...
Hallo
[mm] ...=(a^3-3ab^2) [/mm] + [mm] (3a^{2}b-b)*i
[/mm]
Und jetzt kannst Du die Koeffizienten mit denen von i=0+1*i vergleichen und im Idealfall ausrechnen, für [mm] \wurzel{i} [/mm] könntest Du das auch so machen.
Hast Du denn subclassers Tip zu d) mal bedacht und womöglich umgesetzt?
Am besten, Du berechnest die Sache mal auf beide Arten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 10.04.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also: Hinweis: Polarform
[mm] z=r*(cos\Phi +i*sin\Phi)
[/mm]
Bsp für 1+i
|1+i| = [mm] \wurzel(2)
[/mm]
[mm] tan\Phi [/mm] = [mm] \bruch{b}{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1}= 1=\Phi [/mm] = 45°
Also: [mm] \wurzel(2)(cos45°+isin45°) [/mm] =1+i
Für [mm] \wurzel[3]{i} [/mm] = [mm] |\wurzel[3]{i}|= \wurzel(1) [/mm]
[mm] tan\Phi [/mm] = [mm] 1=\Phi [/mm] = 45°
Also: [mm] \wurzel(1)(cos45°+isin45°) =\wurzel[3]{i}
[/mm]
Grüße...
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Hallo,
bitte spendiere doch ein wenig verbindenden Text, so daß man sofort weiß, was Du zu tun gedenkst.
Auch für Dich selbst ist das eine Hilfe. Man verstrickt sich dann nicht so leicht im eigenen Netz, wenn Ziel und Plan zur Erreichung desselbigen schriftlich niedergelegt sind.
> also: Hinweis: Polarform
>
> [mm]z=r*(cos\Phi +i*sin\Phi)[/mm]
>
> Bsp für 1+i
Du möchtest nun also die komplexe Zahl z=1+i in der Polarform darstellen.
Hierfür berechnest Du zunächst den Betrag der Zahl
> |1+i| = [mm]\wurzel(2)[/mm],
dann den zugehörigen Winkel [mm] \phi
[/mm]
> [mm]tan\Phi[/mm] = [mm]\bruch{b}{a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}= 1=\Phi[/mm] = 45°
>
> Also: [mm]\wurzel(2)(cos45°+isin45°)[/mm] =1+i
Ja. das ist richtig. Durch Einsetzen kannst Du es ja prüfen.
> Für [mm]\wurzel[3]{i}[/mm] = [mm]|\wurzel[3]{i}|= \wurzel(1)[/mm]
Du hast jetzt den Betrag von [mm] \wurzel[3]{i} [/mm] berechnet.
> [mm]tan\Phi[/mm] = [mm]1
Wie kommst Du auf diesen Tangens? Ich verstehe das nicht.
Ich würde erstmal die Polarform von i berechnen, in die Exponentialform umschreiben, und diese dann "hoch ein Drittel" nehmen.
Gruß v. Angela
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