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Komplexe Zahlen: Wurzel aus einer imaginären Z.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Sa 20.11.2004
Autor: moebak

Ich komme irgendwie nicht weiter. Meine Aufgabe lautet: Ziehe die 6-te Wurzel aus  [mm] \wurzel{2}+ i*\wurzel{2}. [/mm]
Kann mir da mal jemand helfen mit dem Ansatz???
Danke im Voraus.

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Tip
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Sa 20.11.2004
Autor: baskolii

Hi!

[mm] z:=\wurzel{2}+\wurzel{2}i [/mm]
[mm] \wurzel[6]{z}=\wurzel[6]{\wurzel{z^2}} [/mm]

mfg Verena

Bezug
                
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Komplexe Zahlen: und weiter...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Sa 20.11.2004
Autor: Bastiane

Hallo Verena!
Da mich die Aufgabe interessiert hat, habe ich sie mir mal angeguckt.

> [mm]z:=\wurzel{2}+\wurzel{2}i [/mm]
>  [mm][mm] \wurzel[6]{z}=\wurzel[6]{\wurzel{z^2}} [/mm]

Da stände doch dann [mm] \wurzel[6]{\wurzel{4i}}, [/mm] oder? Und wie könnte man die dann berechnen?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Sa 20.11.2004
Autor: baskolii

Hi!

Mmh, hast recht. [mm] \wurzel{i} [/mm] ist ja wieder [mm] \frac{1}{\wurzel{2}}+\frac{1}{\wurzel{2}}i [/mm] und man kommt nicht weiter.
aber wenn man z in Polarkoordinaten betrachtet ist es ganz einfach, da man sich herleiten kann, dass [mm] \wurzel[n]{re^{i\mu}}=\wurzel[n]{r}e^{\frac{1}{n}i\mu} [/mm]

mfg Verena

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Komplexe Zahlen: Verbesserung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:32 Sa 20.11.2004
Autor: moebak

Hallo nochmal,
danke Verena, aber ich habe mich vertan bei der Aufgabe.

Es soll heissen bestimme die 6-te Wurzel aus  [mm] \wurzel{2}+i* \wurzel{2} [/mm]

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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:15 So 21.11.2004
Autor: baskolii

Wo liegt der Unterschied??

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 So 21.11.2004
Autor: Christian

Hallo.

Betrachtet das ganze doch einfach, wie bereits vorgeschlagen, in Polarkoordinaten.
Dann gilt:
[mm] \wurzel{2}+i \wurzel{2}= 2e^{\bruch{\pi}{4}i}[/mm].
Und jetzt einfach die 6-te Wurzel ziehen:
[mm] \wurzel[6]{\wurzel{2}+i \wurzel{2}}= \wurzel[6]{2}e^{\bruch{\pi}{24}i}[/mm].
Jetzt kann man das natürlich wieder in rechtwinklige Koordinaten Umrechnen, auch wenns kein schönes Ergebnis mehr gibt:
[mm]\wurzel[6]{2}e^{\bruch{\pi}{24}i}=\wurzel[6]{2}*(\cos{\bruch{\pi}{24}}+i\sin{\bruch{\pi}{24}}) \approx 1.112+0.147i[/mm]

Gruß,
Christian

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