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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Di 02.01.2007 | | Autor: | alf2oo7 |
| Aufgabe | a. Die Komplexe Zahl ist z1 = cos 50°+ i sin 50° und das soll z1 in der 6 Potenz der Trigonometrische Form berechnet werden
b. Gegeben ist z2=-1-i berechnen sie von z2 die 3 Wurzel in geeigneter Form
c. gegeben ist z3 = [mm] 5e^2,5i [/mm] Logarithmus soll berechnet werden
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Hallo muss zum ersten sagen das ich kein richtigen Plan davon habe
also wer es sehr lieb wen ihr es mir bitte so einfach wie möglich erklären könntet
wer eine sehr große Heldentat wenn mir einer mit Lösung und Erklärung helfen würde!!
* Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen an.]
oder
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a. Die Komplexe Zahl ist z1 = cos 50°+ i sin 50° und das
> soll z1 in der 6 Potenz der Trigonometrische Form berechnet
> werden
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> b. Gegeben ist z2=-1-i berechnen sie von z2 die 3 Wurzel in
> geeigneter Form
>
> c. gegeben ist z3 = [mm]5e^2,5i[/mm] Logarithmus soll berechnet
> werden
>
>
>
> Hallo muss zum ersten sagen das ich kein richtigen Plan
> davon habe
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eigentlich sollst Du lt. Forenregeln hier ja Lösungsansätze bzw. konkrete Fragen posten.
Nun schreibst Du, daß Du gar keinen Plan hast...
Da verschaffst Du Dir am besten zunächst einen Überblick, z.B.
![[]](/images/popup.gif) hier.
Arbeite Dich durch bis inkl. Abschnitt "Pragmatische Rechenregeln", den Du fürs Potenzieren und Wurzeln ziehen gut gebrauchen kannst.
Danach kannst Du Lösungsversuche unternehmen, die wir hier im Forum diskutieren können, oder Du wirst Fragen haben zu Dingen, die Dir nicht klargeworden sind.
> also wer es sehr lieb wen ihr es mir bitte so einfach wie
> möglich erklären könntet
Wie gesagt: das ist bereits vorbereitet.
>
> wer eine sehr große Heldentat wenn mir einer mit Lösung und
> Erklärung helfen würde!!
Zu Heldentaten neige ich nicht.
>
> * Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen
> Fragen an.]
> oder
> * Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hä?
Hast Du sie nun woanders gestellt oder nicht?
Gruß v. Angela
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Hallo!
Zu diesem Problem:
> a. Die Komplexe Zahl ist z1 = cos 50°+ i sin 50° und das
> soll z1 in der 6 Potenz der Trigonometrische Form berechnet
> werden
>
Euler'sche Formel:
[mm] $e^{i\,\phi} [/mm] = [mm] \cos(\phi) [/mm] + [mm] i\,\sin(\phi)$
[/mm]
und damit
$z = [mm] r^\,e^{i\,\phi} [/mm] = [mm] r\,\left(\cos(\phi) + i\,\sin(\phi)\right)$
[/mm]
[mm] $z^n [/mm] = [mm] r^n e^{n\,(i\,\phi)} [/mm] = [mm] r^n\,\left(\cos(\phi) + i\,\sin(\phi)\right)^n$
[/mm]
und dann hilft de'Moivre
[mm] $z^n [/mm] = [mm] r^n e^{n\,(i\,\phi)} [/mm] = [mm] r^n\,\left( \cos(n \cdot\phi) + i\,\sin(n \cdot \phi)\right)$
[/mm]
Nun rechnen wir mal den Betrag Deiner komplexen Zahl aus:
$|z| = [mm] \left| \cos \left( \frac{5}{18}\,\pi \right) + i\, \sin(\left( \frac{5}{18}\,\pi \right) \right|$
[/mm]
$|z| = [mm] \sqrt{ z \cdot \overline{z} } [/mm] =$
$ [mm] \sqrt{ x^2 + y^2 } [/mm] = $
[mm] $\sqrt{\left( \cos \left( \frac{5}{18}\,\pi \right)\right) ^2 + \sin^2\left( \frac{5}{18}\,\pi \right) } [/mm] = [mm] \sqrt{1} [/mm] = 1 $
War aber auch klar, da $r=1$ vorgelegt.
Wir bewegen uns also auf dem Einheitskreis.
Nun, die Multiplikation zweier komplexer Zahlen bedeutet eine Drehstreckung. Die Winkel werden addiert und die Beträge (Längen) multipliziert. Wir haben hier die Länge (Betrag) 1. Also ändert sich an der Länge des Pfeils nichts. Wir bleiben auf dem Einheitskreis.
[mm] $z^6 [/mm] = [mm] r^6 e^{6\,(i\,\phi)} [/mm] = [mm] r^6\,\left( \cos(6 \cdot \frac{5}{18}\,\pii) + i\,\sin(6 \cdot \frac{5}{18}\,\pi )\right)$
[/mm]
[mm] $z^6 [/mm] = [mm] \cos\left( \frac 53 \,\pi \right) [/mm] + [mm] i\,\sin \left( \frac{5}{3}\,\pi \right) [/mm] $
Wir wissen aus dem Einheitskreis:
[mm] $\cos\left( \frac{5}{3} \,\pi \right) [/mm] = [mm] \cos \left( \frac{ \pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\sin\left( \frac{5}{3}\,\pi \right) [/mm] = [mm] -\sin\left( \frac{\pi}{3}\right) [/mm] = [mm] -\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
und damit können wir die komplexe Zahl auch sehr einfach in kartesischer Form angeben:
[mm] $z^6 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{\sqrt{3}}{2}\,i$
[/mm]
Gruß
mathemak
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