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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | Wo liegen in der Gaußschen Zahlenebene die Zahlen z [mm] \in \IC [/mm] für die gilt
[mm] z^{2}=|z|^{2} [/mm] |
hi folgende aufgabe muss ich lösen
und bekanntlich gilt
z=x+jy, [mm] |z|=\wurzel{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
wenn ich das auflöse komme ich irgendwann auf
-jx=y
das sagt mir überhaupt gar nix !
wie kann ich das denn in der gaußschen zahlenebene darstellen?
falls ihr auf andere ergebnisse kommt kann ich ja mal meinen kompletten rechenweg darstellen, aber ich glaube der ist so richtig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tequila!
Auf dieses Ergebnis komme ich nicht. Ich habe erhalten:
[mm] $z^2 [/mm] \ = \ [mm] (x+i*y)^2 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \blue{x^2-y^2}+i*\red{2xy}$
[/mm]
[mm] $|z|^2 [/mm] \ = \ [mm] |x+i*y|^2 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] x^2+y^2 [/mm] \ = \ [mm] \blue{x^2+y^2}+i*\red{0}$
[/mm]
Daraus ergibt sich dann folgendes Gleichungssystem:
[mm] $\blue{x^2-y^2} [/mm] \ = \ [mm] \blue{x^2+y^2}$
[/mm]
[mm] $\red{2xy} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Tequila |
Danke für die schnelle Antwort, allerdings versteh ich das nicht ganz!
man bekommt ja im Prinzip raus
[mm] x^{2}+2ixy-y^{2}=x^{2}+y^{2} [/mm]
richtig ?
Wieso stellst du dann ein Gleichungssystem auf?
"Normalerweise" würde man doch die [mm] x^{2} [/mm] auf beiden Seiten wegstreichen und hätte
2ixy = [mm] 2y^{2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
ix=y
(da hatte ich wohl einen Dreher im Vorzeichen bei meiner Rechnung)
Laut deinem GS käme raus
[mm] -y^{2}=y^{2}
[/mm]
was nur für y = 0 erfüllt ist
2xy=0
[mm] \gdw
[/mm]
y=0
gilt nur auf der Reelen Achse (so steht es auch in meinen Lösungen)
wieso wird also nicht weitergerechnet wie ich das mache, sondern ein Gleichungssystem aufgestellt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tequila!
Auch Dein Weg führt zum Ziel, allerdings unterschlägst Du die entscheidende Lösung!
$i*2xy \ = \ [mm] 2y^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $y^2-i*xy [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ [/mm] $y*(y-i*x) \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ [/mm] $y \ = \ 0$ oder $y-i*x \ = \ 0$
Und der 2. Teil kann für reelle $x_$ und $y_$ nie erfüllt werden, da eine reelle Zahl multipliziert mit der imaginären Einheit $i_$ nie eine reelle Zahl ergeben kann.
Hinter meinem Lösungsansatz steckt die Idee, dass zwei komplexe Zahlen genau dann identisch sind, wenn sie sowohl im Realteil als auch im Imaginärteil übereinstimmen.
Gruß
Loddar
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