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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 09.09.2012 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | | [mm] z^3=-8j [/mm] |
In meiner Formelsammlung steht nur eine Formel für komplexe Zahlen, deren Realteil größer Null ist. Wie könnte der Ansatz für r=0 sein und was wäre, wenn r < 0 ist?
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Hi!
> [mm]z^3=-8j[/mm]
> In meiner Formelsammlung steht nur eine Formel für
> komplexe Zahlen, deren Realteil größer Null ist. Wie
> könnte der Ansatz für r=0 sein und was wäre, wenn r < 0
> ist?
Es ist [mm] $e^{j\pi}=-1$
[/mm]
und [mm] $j=e^{j\frac{\pi}{2}}$
[/mm]
Schreibe das also als:
[mm] $z^3=(-1)\cdot 8\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}$
[/mm]
Valerie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 So 09.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]z^3=-8j[/mm]
> In meiner Formelsammlung steht nur eine Formel für
> komplexe Zahlen, deren Realteil größer Null ist. Wie
> könnte der Ansatz für r=0 sein und was wäre, wenn r < 0
> ist?
was ist denn nun bei Dir [mm] $r\,$? [/mm] Der Realteil?
(Das ist eine schlechte Wahl, weil man eine komplexe Zahl auch in
Polardarstellung schreiben kann - prinzipiell hat Valerie das gemacht,
bzw. sie hat ![[]](/images/popup.gif) die eulersche Formel benutzt.
Hätte man auch für [mm] $z\,$ [/mm] machen können, und dann kommt
sowas wie "die Länge von [mm] $z\,$" [/mm] ins Spiel - denn man kann für $z [mm] \not=0$
[/mm]
auf [mm] $z/|z|\,$ [/mm] die eulersche Formel anwenden. Nicht selten schreibt man
aus etwa geometrischen Gründen dann [mm] $r:=|z|\,.$ [/mm] Übrigens erkennt man
aus der Gleichung oben sofort, dass $z [mm] \not=0$ [/mm] gelten muss: Warum?)
Neben Valeries Lösung kannst Du auch so vorgehen (ganz elementar):
Schreibe $z=x+y [mm] \cdot [/mm] j$ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] (ich nehme an, dass ihr die imaginäre
Einheit mit [mm] $j\,$ [/mm] bezeichnet - das macht man meist in der Physik, in der
Mathematik heißt sie meist [mm] $i\,$).
[/mm]
Dann steht da
[mm] $$z^3=-8j$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x+y*j)^3=-8j$$
[/mm]
Linkerhand ausmultiplizieren (oder allgemeine binomische Formel benutzen),
dann die Kenntnis [mm] $j^2=-1\,$ [/mm] linkerhand verarbeiten und nach Real- und
Imaginärteil sortieren. Dann steht linkerhand sowas wie
[mm] $$r_1+r_2*j$$
[/mm]
mit [mm] $r_1=r_1(x,y),\;r_2=r_2(x,y) \in \IR$ [/mm] und das soll [mm] $=-8j\,$ [/mm] sein. Der Vergleich
mit [mm] $-8*j=0+(-8)\cdot [/mm] j$ liefert dann [mm] $r_1=0$ [/mm] und [mm] $r_2=-8\,,$ [/mm]
(zwei komplexe Zahlen stimmen genau dann überein, wenn sie im Real-
und Imaginärteil übereinstimmen - das folgt sofort daraus, dass eine
komplexe Zahl genau dann Null ist, wenn sie sowohl den Realteil $0 [mm] \in \IR$ [/mm] als auch den Imaginärteil $0 [mm] \in \IR$ [/mm] hat!!)
und damit bekommst Du dann ein GLS für die Variablen $x,y [mm] \in \blue{\IR}\,,$ [/mm] welches Du zu lösen hast.
Gruß,
Marcel
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[mm] z^3=-8j=8*(-j)=8*e^{\bruch{3}{2}\pi*j+k*2*\pi*j}
[/mm]
Nun alles hoch [mm] \bruch{1}{3}:
[/mm]
[mm] z=2*e^{\bruch{1}{2}\pi*j+k*\bruch{2}{3}*\pi*j}=2*j*e^{k*\bruch{2}{3}*\pi*j}
[/mm]
Man erhält 3 verschiedene Lösungen für k=1, 2 und 3, die sich für andere k nur wiederholen, also
[mm] z_1=2*j*e^{1*\bruch{2}{3}*\pi*j}=2*j*e^{\bruch{2}{3}*\pi*j}
[/mm]
[mm] z_2=2*j*e^{2*\bruch{2}{3}*\pi*j}=2*j*e^{\bruch{4}{3}*\pi*j}
[/mm]
[mm] z_3=2*j*e^{3*\bruch{2}{3}*\pi*j}=2*j*e^{\bruch{6}{3}*\pi*j}=2*j
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Lewser |
Hallo,
vielen Dank euch allen! Ich habe bisher noch nicht geantwortet, weil ich parallel andere Aufgaben löse, werde mir die Antworten im Laufe des Tages in Ruhe durchlesen.
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