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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Mi 02.09.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | Bestimme den Konv.rad. der komplexen Potenzreihe (eine solche ist erst zu bestimmen) und zeichne den Konvergenzkreis in die komplexen Ebene ein.
a) [mm] \bruch{z^2}{z+3}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{z^2+3^} [/mm] |
Hallo,
In der Übung wurde die Aufgaben wie folgt gelöst:
man versucht zunächst die der Ausdruck in eine gemometrische Reihe
umzuschreiben (an dieser Stelle schon mal, warum ausgerechnet geom. R.)
nähmlich so
[mm] \bruch{1}{1-q}=\summe_{n=0}^{\infty}q^n
[/mm]
also für a) [mm] \bruch{z^2}{z+3}=\bruch{z^2}{3+z}=\bruch{z^2}{3}*\bruch{1}{1+\bruch{z}{3}}=\bruch{z^2}{3}*\bruch{1}{1-(-\bruch{z}{5})}
[/mm]
bis dahin halbwegs klar, nun
[mm] \bruch{z^2}{3}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{z^n}{3^n} [/mm] woher erscheint hier Summenzeichen ? und [mm] (-1)^n [/mm] ? kurz gesagt, verstehen ich diesen Schritt gar nicht!
weiter [mm] =\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{zhoch(n+2)}{3hoch(n+1)} [/mm] die Exponente passen sich an, um [mm] \bruch{z^2}{3} [/mm] in die Summe aufzunehmen ?
Endergebnis : [mm] =\summe_{i=2}^{\infty}(-1)^n\bruch{z^n}{3hoch(n-1)}
[/mm]
verschiebt sich der Startwert der Summe um zhoch(n+2) auf [mm] z^n [/mm] zu bringen? warum?
Danke Euch im Voraus
Gruss Alex
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Hallo Alex,
> Bestimme den Konv.rad. der komplexen Potenzreihe (eine
> solche ist erst zu bestimmen) und zeichne den
> Konvergenzkreis in die komplexen Ebene ein.
>
> a) [mm]\bruch{z^2}{z+3}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1}{z^2+3^}[/mm]
> Hallo,
> In der Übung wurde die Aufgaben wie folgt gelöst:
> man versucht zunächst die der Ausdruck in eine
> gemometrische Reihe
> umzuschreiben (an dieser Stelle schon mal, warum
> ausgerechnet geom. R.)
> nähmlich so
> [mm]\bruch{1}{1-q}=\summe_{n=0}^{\infty}q^n[/mm]
>
> also für a)
> [mm]\bruch{z^2}{z+3}=\bruch{z^2}{3+z}=\bruch{z^2}{3}*\bruch{1}{1+\bruch{z}{3}}=\bruch{z^2}{3}*\bruch{1}{1-(-\bruch{z}{5})}[/mm]
>
> bis dahin halbwegs klar, nun
>
> [mm]\bruch{z^2}{3}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{z^n}{3^n}[/mm]
> woher erscheint hier Summenzeichen ? und [mm](-1)^n[/mm] ? kurz
> gesagt, verstehen ich diesen Schritt gar nicht!
Na, du hast doch oben die Formel mit dem $q$ hingeschrieben, hier ist [mm] $q=-\frac{z}{3}$
[/mm]
Also [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{1-\left(-\frac{z}{3}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{z}{3}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\left(\frac{z}{3}\right)^n$ [/mm] einfache Anwendung der Potenzgesetze.
Hinzu kommt der Vorfaktor
>
> weiter
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{z^{n+2}}{3^{n+1}}[/mm]
> die Exponente passen sich an, um [mm]\bruch{z^2}{3}[/mm] in die
> Summe aufzunehmen ?
Ja, Potenzgesetze [mm] $z^n\cdot{}z^2=z^{n+2}$ [/mm] und [mm] $3^n\cdot{}3=3^{n+1}$
[/mm]
> Endergebnis :
> [mm]=\summe_{i=2}^{\infty}(-1)^n\bruch{z^n}{3^{n-1}}[/mm]
> verschiebt sich der Startwert der Summe um [mm] z^{n+2} [/mm] auf
> [mm]z^n[/mm] zu bringen?
Ja, das ist ne lupenreine Indexverschiebung
> warum?
Weil eine Potenzreihe die Form [mm] $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n\cdot{}(z-z_0)^{\red{n}}$ [/mm] hat bzw. wie hier mit [mm] $z_0=0$ [/mm] die Form [mm] $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n\cdot{}z^{\red{n}}$
[/mm]
PS: Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, setze in geschweifte Klammern; das Hochstellen mache mit dem Dach ^
So ergibt z^{n+2} das schön leserliche [mm] $z^{n+2}$
[/mm]
>
> Danke Euch im Voraus
> Gruss Alex
LG
schachuzipus
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