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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Glumi |
| Aufgabe | | [mm] 0=2z^{2}+(-3+3i)z-1-3i [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem andern Forum gestellt.
Hallo,
ich verzweifle schier an dieser Aufgabe.
Kann ich das mit der Abc-Formel lösen oder gehts noch einfacher/anders?
Mit abc Formel erhalte ich dann:
[mm] \bruch{3-3i\pm\wurzel[2]{8+6i}}{4}
[/mm]
Da komme ich nicht weiter sofern es bis hierher stimmt.
Muss ich um die Wurzel aufzulösen das erst in Polardarstellung umformen?
Lösung sagt z=-i und [mm] z=\bruch{3}{2}-\bruch{i}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Fr 17.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja am einfachsten die Wurzel ziehen kann man nur mit der Polarform, also [mm] z=r*e^{i\phi}
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Glumi,
Korrigiert! Danke Marcel.
Für die beiden Quadratwurzeln einer komplexen Zahl $z=x+iy$ gibt es eine einfache Formel:
Setze:
$a= [mm] \sqrt {\frac 1 2(|z| + x })$
[/mm]
$b= [mm] \sqrt {\frac 1 2(|z| -x })$
[/mm]
Für [mm] $y\ge [/mm] 0$ sind dann
$a+ib$ und $-a-ib$
und für $y<0$
$a-ib$ und $-a+ib$
die beiden Wurzeln aus $z$.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Glumi,
>
> Für die beiden Quadratwurzeln einer komplexen Zahl [mm]z=x+iy[/mm]
> gibt es eine einfache Formel:
> Setze:
>
> [mm]a=\frac 1 2 \sqrt {|z| + y}[/mm]
>
> [mm]b=\frac 1 2 \sqrt {|z| - y}[/mm]
> Für $ [mm] y\ge [/mm] 0 $ sind dann
> $ a+ib $ und $ -a-ib $
> und für $ y<0 $
> $ a-ib $ und $ -a+ib $
> die beiden Wurzeln aus $ z $.
ja cool. Ich denke mal, eine Möglichkeit, sich diese herzuleiten, geht so,
wie ich's beschrieben habe:
Man sucht $v+i*w [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $(v+i*w)^2=x+i*y\,.$ [/mm]
(P.S. Mit herleiten meine ich wirklich "her-leiten". Nachzurechnen, dass
Deine Lösungen in der Tat die Lösungen sind, sollte jeder können (und
machen, um sich von der Richtigkeit der Behauptung zu überzeugen).
Ich mache das jetzt auch mal - das nachrechnen!  )
P.P.S.
Hast Du Dir die Formeln hergeleitet (dann sicher eher über mit der
eulerschen Formel bzw. der Polarform) - oder hast Du sie aus einem
Buch entnommen? Mich interessiert's nämlich, wer sich auch solche
Formeln in seinem Buch notiert (das finde ich gar nicht verkehrt, auch,
wenn man sie sich mit anderem Wissen schnell herleiten kann).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> P.P.S.
> Hast Du Dir die Formeln hergeleitet (dann sicher eher
> über mit der
> eulerschen Formel bzw. der Polarform) - oder hast Du sie
> aus einem
> Buch entnommen?
Aus Königsberger Analysis 1, Seite 25. Die Herleitung dort ist so elegant, daß man sie sich für den Rest des Lebens merken kann:
Sei [mm] $u=u_1 [/mm] + [mm] iu_2$ [/mm] und [mm] $u^2=z$ [/mm] mit $z=x+iy$.
Aus [mm] $u^2=z$ [/mm] folgt: [mm] $u_1^2-u_2^2 [/mm] = x$.
Aus [mm] $|u|^2=|z|$ [/mm] folgt: [mm] $u_1^2+u_2^2 [/mm] = |z|$.
Addition der Gleichungen gibt:
[mm] $u_1 [/mm] = [mm] \pm\sqrt {\frac 1 2 (|z| + x)}$
[/mm]
und Subtraktion der ersten von der zweiten gibt:
[mm] $u_2 [/mm] = [mm] \pm\sqrt{\frac 1 2 (|z| - x)}$
[/mm]
Wegen [mm] $2u_1u_2 [/mm] = y$ haben [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] dasselbe Vorzeichen für [mm] $0\le [/mm] y$ und verschiedene Vorzeichen für $y<0$.
Das wars. Jede komplexe Zahl außer Null hat genau zwei Quadratwurzeln.
Und ich glaube, ich habe in meiner Formel einen Tippfehler. Gehe gleich mal gucken..
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > P.P.S.
> > Hast Du Dir die Formeln hergeleitet (dann sicher eher
> > über mit der
> > eulerschen Formel bzw. der Polarform) - oder hast Du sie
> > aus einem
> > Buch entnommen?
>
> Aus Königsberger Analysis 1, Seite 25.
ah, okay, Danke!!
> Die Herleitung dort
> ist so elegant, daß man sie sich für den Rest des Lebens
> merken kann:
>
> Sei [mm]u=u_1 + iu_2[/mm] und [mm]u^2=z[/mm] mit [mm]z=x+iy[/mm].
>
> Aus [mm]u^2=z[/mm] folgt: [mm]u_1^2-u_2^2 = x[/mm].
>
> Aus [mm]|u|^2=|z|[/mm] folgt: [mm]u_1^2+u_2^2 = |z|[/mm].
Okay. Geht im Prinzip genauso, wie ich es vorgeschlagen hatte,
aber die Eleganz ergibt sich einfach durch die letztstehende einfache
Betragsbetrachtung. Alles klar. 
> Addition der Gleichungen gibt:
>
> [mm]u_1 = \pm\sqrt {\frac 1 2 (|z| + x)}[/mm]
>
> und Subtraktion der ersten von der zweiten gibt:
>
> [mm]u_2 = \pm\sqrt{\frac 1 2 (|z| - x)}[/mm]
>
> Wegen [mm]2u_1u_2 = y[/mm] haben [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] dasselbe Vorzeichen
> für [mm]0\le y[/mm] und verschiedene Vorzeichen für [mm]y<0[/mm].
>
> Das wars. Jede komplexe Zahl außer Null hat genau zwei
> Quadratwurzeln.
>
> Und ich glaube, ich habe in meiner Formel einen Tippfehler.
> Gehe gleich mal gucken..
Ja, hattest Du. Ich hatte's geahnt und durch's Nachrechnen
schon korrigiert. War nicht böse gemeint: Ich rechne halt
schon gerne mal schnell was nach, was ich nicht (mehr) kenne,
und muss es ggf. korrigieren.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:01 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Glumi,
>
> Für die beiden Quadratwurzeln einer komplexen Zahl [mm]z=x+iy[/mm]
> gibt es eine einfache Formel:
> Setze:
>
> [mm]a=\frac 1 2 \sqrt {|z| + y}[/mm]
>
> [mm]b=\frac 1 2 \sqrt {|z| - y}[/mm]
>
> Für [mm]y\ge 0[/mm] sind dann
>
> [mm]a+ib[/mm] und [mm]-a-ib[/mm]
entweder rechne ich falsch (ich befürchte es fast), oder Du musst/solltest
Deine Formeln nochmal kontrollieren:
[mm] $$(a+ib)^2=a^2-b^2+i*2ab=\frac{1}{4}(|z|+y-|z|+y)+\frac{i}{2}\sqrt{x^2}=\frac{1}{2}(i*|x|+y)\,.$$
[/mm]
Da sind wohl [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] vertauscht und anstatt der [mm] $2\,$ [/mm] sollte
irgendwo [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] stehen. Aber ich rechne es nochmal nach.
Ich verrechne mich zur Zeit oft gerne ^^
P.S.
Erwähnenswert ist sicher auch, dass $|z|+y, [mm] \,|z|-y,\,|z|+x,\,|z|-x \ge 0\,.$
[/mm]
(Wegen [mm] $|z|=\sqrt{x^2+y^2}\,.$)
[/mm]
P.P.S
Wenn ich's nachrechne, sollte das ganze mit
[mm] $$a:=\sqrt{\frac{|z|+\mathbf{\blue{x}}}{2}}$$
[/mm]
und
[mm] $$b:=\sqrt{\frac{|z|-\mathbf{\blue{x}}}{2}}$$
[/mm]
passen. Ich nehme an, dass Du eigentlich eh die 2 unter die Wurzel
schreiben wolltest.
( Ich habe aber nur den Fall $y [mm] \ge [/mm] 0$ getestet - da kann man dann
[mm] $\sqrt{y^2}=|y|=y\,$ [/mm] gut anwenden. )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]0=2z^{2}+(-3+3i)z-1-3i[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem andern Forum gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich verzweifle schier an dieser Aufgabe.
> Kann ich das mit der Abc-Formel lösen oder gehts noch
> einfacher/anders?
>
> Mit abc Formel erhalte ich dann:
>
> [mm]\bruch{3-3i\pm\wurzel[2]{8+6i}}{4}[/mm]
>
> Da komme ich nicht weiter sofern es bis hierher stimmt.
ich hab nichts nachgerechnet. Aber ich kann Dir einen Tipp geben,
wie's weitergeht: Im komplexen hat ein Polynom zweiten Grades
ja genau zwei Nullstellen. Daher schreibe nun mal
[mm] $$v+i*w=\sqrt{8+6*i}\,,$$
[/mm]
wobei $v,w [mm] \in \IR$ [/mm] sein sollen, und versuche das so enstehende
Gleichungssystem zu lösen. Du solltest dafür genau zwei Zahlenpaare
$(v,w) [mm] \in \IR^2$ [/mm] erhalten. Hier musst Du aber (irgendwann) auch mal
die Probe machen - denke ich jedenfalls, denn ich glaube nicht, dass
Du nur Äquivalenzumformungen machen wirst.
Gruß,
Marcel
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