Komplexe NST im 1-Kreis finden < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 13.02.2011 | | Autor: | Lyrn |
Hallo!
Ich verstehe nicht wie ich komplexe Nullstellen von einem Polynom berechnen kann.
Was ich bisher weiß:
Sagen wir mal wir haben das Polynom [mm] x^5-7.
[/mm]
Dann liegen die Nullstellen im Radius von [mm] \wurzel[5]{7} [/mm] im Abstand von [mm] \bruch{360}{5}=72 [/mm] Grad um den Einheitskreis.
Nun weiß ich aber nicht wie ich diese Nullstellen "ablesen" kann. Ich weiß zwar dass es 4 Komplexe und 1 Reelle Nullstelle gibt, aber mehr auch nicht.
Wäre echt super wenn mir das einer ausführlich erklärt (den Wiki Artikel kenn ich, aber das hat mir nicht geholfen). Ich schreibe morgen Abend die Algebra und Zahlentheorie Klausur und das ist noch das einzige was ich nicht kann. Wenn dann eine Aufgabe wie "Ist [mm] \IQ(i*\wurzel[4]{2}) [/mm] der Zerfällungskörper vor [mm] x^4-2 \in \IQ [/mm] [x]" kommt schau ich doof aus der Wäsche :D
Gruß Lyrn!
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> Hallo!
> Ich verstehe nicht wie ich komplexe Nullstellen von einem
> Polynom berechnen kann.
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> Was ich bisher weiß:
> Sagen wir mal wir haben das Polynom [mm]x^5-7.[/mm]
>
> Dann liegen die Nullstellen im Radius von [mm]\wurzel[5]{7}[/mm] im
> Abstand von [mm]\bruch{360}{5}=72[/mm] Grad um den Einheitskreis.
> Nun weiß ich aber nicht wie ich diese Nullstellen
> "ablesen" kann. Ich weiß zwar dass es 4 Komplexe und 1
> Reelle Nullstelle gibt, aber mehr auch nicht.
Allgemein hat ein Polynom [mm]f=X^a-t[/mm] folgende Nullstellen:
[mm]\sqrt[a]{t}*\zeta_a^0,\sqrt[a]{t}*\zeta_a^1,\ldots,\sqrt[a]{t}*\zeta_a^{a-1}[/mm]. Wobei [mm]\zeta_a[/mm] so eine a-te Einheitswurzel ist. Das ist immer so.
Bei dir konkret wären es die Nullstellen:
[mm]\sqrt[5]{7},\sqrt[5]{7}*\zeta_5^1,\sqrt[5]{7}*\zeta_5^2,\sqrt[5]{7}*\zeta_5^3,\sqrt[5]{7}*\zeta_5^4[/mm]
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> Wäre echt super wenn mir das einer ausführlich erklärt
> (den Wiki Artikel kenn ich, aber das hat mir nicht
> geholfen). Ich schreibe morgen Abend die Algebra und
> Zahlentheorie Klausur und das ist noch das einzige was ich
> nicht kann. Wenn dann eine Aufgabe wie "Ist
> [mm]\IQ(i*\wurzel[4]{2})[/mm] der Zerfällungskörper vor [mm]x^4-2 \in \IQ[/mm]
> [x]" kommt schau ich doof aus der Wäsche :D
Hier sind die Nullstellen:
[mm]\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}*\zeta_4^1,\sqrt[4]{2}*\zeta_4^2,\sqrt[4]{2}*\zeta_4^3[/mm]
[mm]\zeta_4=i[/mm]
Damit musst du nur (salopp) das i und die [mm]\sqrt[4]{2}[/mm] an [mm]\IQ[/mm] adjungieren, da
[mm]\IQ (\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}*\zeta_4^1,\sqrt[4]{2}*\zeta_4^2,\sqrt[4]{2}*\zeta_4^3)=\IQ(\sqrt[4]{2},\zeta_4^1)=\IQ(\sqrt[4]{2},i)[/mm]
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> Gruß Lyrn!
gruß zurück.
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