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| Aufgabe | Machen Sie eine Skizze der Lösungen der Gleichung
[mm] |z+i|+|z-i|=2\wurzel{2} [/mm] |
Hi,
meine Idee war die folgende:
Sei also $ z=x+i*y $. Dann wird die Gleichung zu:
[mm] x^2+(y-1)^2+x^2+(y+1)^2=2\wurzel{2}
[/mm]
[mm] 2x^2+2y^2+2=2\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \bruch{x^2}{\wurzel{2}-1}+\bruch{y^2}{\wurzel{2}-1}=1
[/mm]
Das müsste doch eigentlich eine Ellipse sein, da aber [mm] a=b=\wurzel{2}-1 [/mm] wäre es ein Kreis. Laut wolframalpha ist es aber eher etwas Ei-ähnliches. Darauf komme ich leider nicht. Wo liegt denn mein Fehler ?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 So 11.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
ich sehe gerade, dass ich eine wurzel vergessen habe.
Das korrigiere ich sofort.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 11.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Machen Sie eine Skizze der Lösungen der Gleichung
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> [mm]|z+i|+|z-i|=2\wurzel{2}[/mm]
Hallo,
der Term |z-i| beschreibt den Abstand einer beliebigen Zahl z zur komplexen Zahl i in der GZE.
der Term |z+i|=|z-(-i)| beschreibt den Abstand einer beliebigen Zahl z zur komplexen Zahl -i in der GZE.
[mm]|z+i|+|z-i|=2\wurzel{2}[/mm] sagt also aus, dass die Summe der Abstände von z zu i bzw. -i einen konstanten Wert hat.
Damit sind -i und i die Brennpunkte einer Ellipsde in der GZE (siehe "Gärtnerkonstruktion").
Gruß Abakus
> Hi,
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> meine Idee war die folgende:
>
> Sei also [mm]z=x+i*y [/mm]. Dann wird die Gleichung zu:
>
> [mm]x^2+(y-1)^2+x^2+(y+1)^2=2\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]2x^2+2y^2+2=2\wurzel{2}[/mm]
Müsste es nicht [mm]\wurzel{x^2+(y-1)^2}+\wurzel{x^2+(y+1)^2}=2\wurzel{2}[/mm] heißen?
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> [mm]\bruch{x^2}{\wurzel{2}-1}+\bruch{y^2}{\wurzel{2}-1}=1[/mm]
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> Das müsste doch eigentlich eine Ellipse sein, da aber
> [mm]a=b=\wurzel{2}-1[/mm] wäre es ein Kreis. Laut wolframalpha ist
> es aber eher etwas Ei-ähnliches. Darauf komme ich leider
> nicht. Wo liegt denn mein Fehler ?
>
> Lg
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