Komplexe Gleichung e^{z} < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] e^{z}=i-1. [/mm] Bestimmen Sie alle Lösungen in der Form z=x+y*i
Lösung;
0,5*ln(2)+i(0.75 [mm] \pi+2\pi [/mm] k) für k=0,+-1,+-2,... |
Ich rechne gerade ein paar alte Klausuren durch, und da bin ich auf diese Aufgabe gestoßen...Von der Fragestellung her passt sie zu dem, was wir gelernt haben...alle möglichen Lösungen von einer Komplexen GL angeben...allerdings waren das bei uns GL die die Form [mm] z^{n} [/mm] hatten und deren Lösungen auf dem EInheitskreis lagen....
Ich frage mich, wie man denn nun das hier löst...denn wenn sowas drankommt hätte ich noch nicht mal den Hauch einer Ahnung was ich mit dem "e" anfange.....
Ich dachte an logarithmieren...aber dann habe ich ln (i-1) = z und dann???
Vielen DAnk für's Helfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mo 22.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
ein Patentrezept für komplexe Gleichungen habe ich nicht, aber hier kannst du folgendermaßen vorgehen:
[mm] e^z [/mm] = [mm] e^{Re(z)} e^{iIm(z)} [/mm] und: i-1 = [mm] \wurzel{2} e^{i\frac{3}{4} \pi}
[/mm]
Vergleich der Beträge liefert: Re(z) = [mm] ln(\wurzel{2}) [/mm] und Im(z) = [mm] {\frac{3}{4} \pi}+2k\pi
[/mm]
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> [mm]e^{z}=i-1.[/mm] Bestimmen Sie alle Lösungen in der Form
> z=x+y*i
> Lösung;
> 0,5*ln(2)+i(0.75 [mm]\pi+2\pi[/mm] k) für k=0,+-1,+-2,...
> Ich rechne gerade ein paar alte Klausuren durch, und da
> bin ich auf diese Aufgabe gestoßen...Von der Fragestellung
> her passt sie zu dem, was wir gelernt haben...alle
> möglichen Lösungen von einer Komplexen GL
> angeben...allerdings waren das bei uns GL die die Form
> [mm]z^{n}[/mm] hatten und deren Lösungen auf dem EInheitskreis
> lagen....
>
> Ich frage mich, wie man denn nun das hier löst...denn wenn
> sowas drankommt hätte ich noch nicht mal den Hauch einer
> Ahnung was ich mit dem "e" anfange.....
> Ich dachte an logarithmieren...aber dann habe ich ln (i-1)
> = z und dann???
das logarithmieren geht auch, wobei das im komplexen anders abläuft.
[mm] e^z=w
[/mm]
[mm] z=ln|w|+i*(arg(w)+k2\pi)
[/mm]
>
> Vielen DAnk für's Helfen!
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Mo 22.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Hey, wieder was gelernt!
Danke,
LZ
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