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Hallo liebes Matheraum Team.
Ich hänge gerade an folgender Aufgabe:
Bestimme alle z [mm] \in \IC, [/mm] die die Gleichung |z-1| = 2|z+i| erfüllen.
Bisher hatte ich Gleichungen, wo auf beiden Seiten eine reelle Zahl oder ein vielfaches von i addiet wurde. Jetzt wo es gemischt wird gibt es leider einige Probleme.
Mein Ansatz:
|z-1| = |z+i|
[mm] \gdw \wurzel{(a-1)^2 + b^2} [/mm] = [mm] 2\wurzel{a^2 + (b+1)^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a-1)^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] 4(a^2 [/mm] + [mm] (b+1)^2)
[/mm]
[mm] \gdw 3a^2 [/mm] + 2a [mm] +3b^2 [/mm] + 8b + 3 = 0.
Was kann ich jetzt hieraus weiter folgern?
Folgende Optionen sehe ich momentan, sehe aber leider kein Ergebnis daraus folgern:
1) Ich löse diese Gleichung nach a auf mit Hilfe der p-q Formel
2) Ich löse die Gleichung nach [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] auf, also dem Betrag von z
3) Ich schreibe anstatt a und b alles in r und [mm] \varphi [/mm] um.
Danke für die Hilfe.
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Hallo Heatshawk,
> Hallo liebes Matheraum Team.
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> Ich hänge gerade an folgender Aufgabe:
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> Bestimme alle z [mm]\in \IC,[/mm] die die Gleichung |z-1| = 2|z+i|
> erfüllen.
>
> Bisher hatte ich Gleichungen, wo auf beiden Seiten eine
> reelle Zahl oder ein vielfaches von i addiet wurde. Jetzt
> wo es gemischt wird gibt es leider einige Probleme.
>
> Mein Ansatz:
>
> |z-1| = 2|z+i|
> [mm]\gdw \wurzel{(a-1)^2 + b^2}[/mm] = [mm]2\wurzel{a^2 + (b+1)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (a-1)^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = [mm]4(a^2[/mm] + [mm](b+1)^2)[/mm]
> [mm]\gdw 3a^2[/mm] + 2a [mm]+3b^2[/mm] + 8b + 3 = 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Was kann ich jetzt hieraus weiter folgern?
>
> Folgende Optionen sehe ich momentan, sehe aber leider kein
> Ergebnis daraus folgern:
> 1) Ich löse diese Gleichung nach a auf mit Hilfe der p-q
> Formel
> 2) Ich löse die Gleichung nach [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] auf, also dem
> Betrag von z
> 3) Ich schreibe anstatt a und b alles in r und [mm]\varphi[/mm]
> um.
4) Klammere 3 aus, mache quadratische Ergänzung in den a-Termen und den b-Termen und schaffe alle konstanten Glieder auf die andere Seite ...
>
> Danke für die Hilfe.
Gruß
schachuzipus
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Dann versuche ich das mal:
[mm] 3(a^2+\bruch{2}{3}a +\bruch{1}{9} [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] \bruch{8}{3}b [/mm] + [mm] \bruch{16}{9} [/mm] - [mm] \bruch{8}{9}) [/mm] = 0
[mm] ((a+\bruch{1}{3})^2 [/mm] + [mm] (b+\bruch{4}{3})^2) [/mm] = [mm] \bruch{8}{9}
[/mm]
Habe ich hiermit jetzt eine Kreisgleichung?
Mittelpunkt [mm] P(-\bruch{1}{3} [/mm] | [mm] -\bruch{4}{3}) [/mm] mit dem Radius [mm] \bruch{2\wurzel2}{3} [/mm] ?
Oder habe ich mich hier vertan?
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Kreis des Apollonios