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| Aufgabe | Untersuchen Sie, für welche reellen Zahlen a [mm] \ge [/mm] 1 die Gleichung
z + a|z+1| + i = 0
komplexe Lösungen besitzt.
Bestimmen Sie diese Lösungen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz, weiß aber nicht wie ich weitermachen soll.
Sei z = x + iy
[mm] \gdw [/mm] x + i(y+1) + a|x+1 + iy| = 0
Nun folgt aus einem Koeffizientenvergleich:
(i) y+1 = 0 [mm] \gdw [/mm] y = -1
(ii) 0 = x + a|x+1 + iy| [mm] \gdw [/mm] a=- [mm] \bruch{x}{\wurzel{(x+1)^{2} + y^2}}
[/mm]
nun kann man noch y = -1 einsetzen , dann folgt:
a=- [mm] \bruch{x}{\wurzel{(x+1)^{2} + 1}}
[/mm]
An dieser Stelle weiß ich nicht, wie ich mein a noch genauer Bestimmen kann. Kann mir jemand bitte einen Tipp geben ?
Ich vermute , dass man die Gleichung nach x umstellen muss, allerdings stehe ich da irgendwie auf dem Schlauch.... danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast das perfekt gelöst, und hast nur Bedenken gekriegt, dass su unendlich viele lösungen für a raushast. aber deine Lösungsmenge für a sind erstmal alle a, wobei du für x beliebige zahlen einsetzen kannst. jetzt kommt aber die einschränkung, denn in der aufgabe steht ja nicht alle a suchen, sondern nur die [mm] a\ge [/mm] 1.welche x sind dann noch möglich?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Di 16.11.2010 | | Autor: | Schueler42 |
Danke für die Antwort. Du hast Recht, dadurch war ich verwirrt^^
Also folgt nach [mm] a\ge1 [/mm] :
- [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2 + 2x + 2}} \ge [/mm] 1
[mm] \Rightarrow x\le-1 [/mm]
Also sind die komplexen Nullstellen: [mm] \{z \in \IC | z=x+iy, x\le-1, y=-1\}
[/mm]
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