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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] für [mm] z^6=-4*\wurzel{3}-4i [/mm] |
mich würde interessieren, wie man diese, so glaub ich, banale Aufgabe elegant mit wenig Rechenaufwand lösen kann. Meine Überlegungen waren: Ist es nötig z mit x+iy darzustellen und dann [mm] (x+iy)^6 [/mm] komplett auszurechnen? So wie ich das abschätze wäre das die umständliche Variante, denn was würd ich machen wenn der Exponent um ein x-Faches grösser wäre. Ich hab mich dann entschieden das es wohl am einfachsten ginge wenn ich das ganze in Polarform rechne, wobei dann folgendes zustande kommt:
[mm] z^6=(x+iy)^6=(\wurzel{x^2+y^2})^6*e^{i*\wurzel{x^2+y^2}*\phi}=(x^2+y^2)^3*e^{i*\wurzel{x^2+y^2}*\phi}
[/mm]
und
[mm] -4*\wurzel{3}-4i=\wurzel{(-4*\wurzel{3})^2+(-4)^2}*e^{i*\wurzel{(-4*\wurzel{3})^2+(-4)^2}*\phi}=8*e^{8*i*\phi}
[/mm]
[mm] -->(x^2+y^2)^3*e^{i*\wurzel{x^2+y^2}*\phi}=8*e^{8*i*\phi}
[/mm]
ja... soweit bin ich, jetzt weiss ich aber nicht wie ich das ganze am besten auflösen kann...
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bling,
was Du hier rechnest, kann ich nicht so ganz nachvollziehen und Du ja augenscheinlich auch nicht.
Auf jeden Fall hat eine derartige Gleichung 6 Lösungen und diese sechs Lösungen bekommst Du durch das Anwenden der Formel von Moivre. Hierzu berechnest Du Betrag und Phase der komplexen Zahl auf der rechten Seite Deiner Gleichung und wendest dann die Formel darauf an. Diese Formel findest Du hier.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Bling |
Da würde meine Gleichung dann so aussehen?
[mm] (x^2+y^2)^3*[cos(6\phi)+i*sin(6\phi)]=8*[cos(\phi)+i*sin(\phi)]
[/mm]
und was mach ich jetzt damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bling!
Berechne zunächst den Betrag sowie das Argument von [mm] $=-4\cdot{}\wurzel{3}-4i [/mm] $ , um damit dann in die genannte  Moivre-Formel zu gehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Bling |
ok Betrag wär dann =8 und das argument(z)= [mm] tan^-1(-4/(-4*\wurzel{3}))=-5*\pi/6
[/mm]
kann das sein?... ich hab momentan total keine Ahnung mehr... wo soll ich denn jetzt das Argument bei der Moivre-Formel einsetzen? für den langen Klammerterm mit sin und cos?
also [mm] 8*(-5*\pi/6) [/mm] ...?
versteh nur noch Bahnhof
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Hallo Bling,
> ok Betrag wär dann =8 und das argument(z)=
> [mm]tan^-1(-4/(-4*\wurzel{3}))=-5*\pi/6[/mm]
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der entsprechende positive Winkel ist:
[mm]\varphi=-\bruch{5*\pi}{6}+2*\pi=\bruch{7*\pi}{6}[/mm]
>
> kann das sein?... ich hab momentan total keine Ahnung
> mehr... wo soll ich denn jetzt das Argument bei der
> Moivre-Formel einsetzen? für den langen Klammerterm mit
> sin und cos?
>
> also [mm]8*(-5*\pi/6)[/mm] ...?
Die richtige Formel lautet dann:
[mm]z_{k}=\wurzel[6]{r}*\left( \ \cos\left(\bruch{\varphi+2*k*\pi}{6}\right) + i*\sin\left(\bruch{\varphi+2*k*\pi}{6}\right) \ \right), \ k=0,1,2,3,4,5[/mm]
, wobei [mm]z^{6}=r*\left( \ \cos\left(\varphi\right) + i * \sin\left(\varphi\right) \ \right)[/mm]
>
> versteh nur noch Bahnhof
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Bling |
achso... aber wesshalb ist es nötig da nochmal [mm] 2\pi [/mm] dazu zu rechnen? erhalte ich mit dem negativen Winkel keine richtigen Lösungen? oder macht man das um angenehmer rechnen zu können?
wenn ich jetzt eben diese [mm] 7\pi/6 [/mm] für meine
1. Lösung z0 (k=0) einsetze, erhalte ich [mm] \wurzel{2}*(cos(7\pi/36)+i*sin(7\pi/36))
[/mm]
und für die
2. Lösung z1 (k=1) erhalte ich [mm] \wurzel{2}*(cos(19\pi/36)+i*sin(19\pi/36))
[/mm]
und so weiter... reicht das als Lösung, oder lässt sich da noch was vereinfachen bei den sin und cos? ...(da hab ich leider mein grosses Defizit, bei den Trigonometrischen Funktionen...:S)
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Hallo Bling,
> achso... aber wesshalb ist es nötig da nochmal [mm]2\pi[/mm] dazu
> zu rechnen? erhalte ich mit dem negativen Winkel keine
> richtigen Lösungen? oder macht man das um angenehmer
> rechnen zu können?
Richtig. In der Regel ist das Rechnen mit positiven Winkeln angenehmer.
Die richtigen Lösugen erhältst Du natürlich auch
mit dem errechneten negativen Winkel.
>
> wenn ich jetzt eben diese [mm]7\pi/6[/mm] für meine
> 1. Lösung z0 (k=0) einsetze, erhalte ich
> [mm]\wurzel{2}*(cos(7\pi/36)+i*sin(7\pi/36))[/mm]
>
> und für die
> 2. Lösung z1 (k=1) erhalte ich
> [mm]\wurzel{2}*(cos(19\pi/36)+i*sin(19\pi/36))[/mm]
>
>
> und so weiter... reicht das als Lösung, oder lässt sich
> da noch was vereinfachen bei den sin und cos? ...(da hab
> ich leider mein grosses Defizit, bei den Trigonometrischen
> Funktionen...:S)
Wenn in der Aufgabe nichts anderes verlangt wird,
dann reicht das auch.
Gruss
MathePower
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