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| Aufgabe | Lösen Sie die komplexe Gleichung:
[mm] $z^{2}+2*z^{\*}=4$ [/mm] |
Mein Ansatz dazu ist nun der folgende:
Zuerst $z=a+j*b$ einsetzten und Real- und Imaginär-teil trennen:
[mm] $z^{2}+2*z^{\*}=4$
[/mm]
[mm] $(2+i*b)^{2}+2*(a-i*b)=4$
[/mm]
[mm] $a^{2}+2*i*a*b-b^{2}+2*a-2*i*b=4$
[/mm]
[mm] $a^{2}-b^{2}+2*a+j*(2*a*b-2*b)$
[/mm]
So, nun per Koeffizientenvergleich erhält man zwei Gleichungen:
[mm] $a^{2}-b^{2}+2*a=4$ [/mm] und $2*a*b-2*b=0$
Die zweite nun nach b umgestellt ergibt $b=0$.
Dies wiederum in die 1. eingesetzt ergibt $a=0 [mm] \vee [/mm] a=-2$
also bekomme ich $z=-2 [mm] \vee [/mm] z=0$, allerdings stimmt dieses Ergebnis ja ganz offensichtlich nicht.
Also, würde ich nun gerne wissen wo mein Fehler liegt und wie komme ich aufs richtige Ergebnis?
Ganz nebenbei, würde mich mal interessieren ob es eine Möglichkeit gibt solche Aufgabe z.B. in Maple zu lösen? Dort bekomme ich solche Aufgaben leider auch nicht gelöst.
Vielen Dank schon mal im Voraus :)
/Sebastian
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Lösen Sie die komplexe Gleichung:
> [mm]z^{2}+2*z^{\*}=4[/mm]
> Mein Ansatz dazu ist nun der folgende:
>
> Zuerst [mm]z=a+j*b[/mm] einsetzten und Real- und Imaginär-teil
> trennen:
> [mm]z^{2}+2*z^{\*}=4[/mm]
> [mm](2+i*b)^{2}+2*(a-i*b)=4[/mm]
> [mm]a^{2}+2*i*a*b-b^{2}+2*a-2*i*b=4[/mm]
> [mm]a^{2}-b^{2}+2*a+j*(2*a*b-2*b)[/mm]
>
>
> So, nun per Koeffizientenvergleich erhält man zwei
> Gleichungen:
> [mm]a^{2}-b^{2}+2*a=4[/mm] und [mm]2*a*b-2*b=0[/mm]
Bis hierhin ist es richtig.
> Die zweite nun nach b umgestellt ergibt [mm]b=0[/mm].
> Dies wiederum in die 1. eingesetzt ergibt [mm]a=0 \vee a=-2[/mm]
>
> also bekomme ich [mm]z=-2 \vee z=0[/mm], allerdings stimmt dieses
> Ergebnis ja ganz offensichtlich nicht.
>
> Also, würde ich nun gerne wissen wo mein Fehler liegt und
> wie komme ich aufs richtige Ergebnis?
>
>
>
> Ganz nebenbei, würde mich mal interessieren ob es eine
> Möglichkeit gibt solche Aufgabe z.B. in Maple zu lösen?
> Dort bekomme ich solche Aufgaben leider auch nicht gelöst.
>
>
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus :)
> /Sebastian
Die zweite Gleichung
$2b(a-1)=0$
liefert dir zwei Alternativen: Entweder b=0 oder a=1. Damit gehst Du in die erste Gleichung ein:
b=0 liefert
[mm] $a^2+2a-4=0$ [/mm]
mit den beiden Lösungen
[mm] $a_{1,2}=z_{1,2}=-1\pm\wurzel{5}$
[/mm]
Das wären zwei reelle Zahlen, die deine Gleichung lösen.
Die 2. Alternative: a = 1 liefert in die 1. Gleichung eingesetzt
[mm] $1-b^2+2=4$
[/mm]
[mm] $b_{1,2}=\pm [/mm] i$
[mm] $z_1=a+ib=1+i^2=0$ [/mm] und [mm] $z_2=a+ib=a-i^2=2$
[/mm]
, die beide die Gleichung nicht lösen.
LG, Martinius
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Danke! Also war ich vor lauter komplexen Zahlen nur zu doof die Quadratische Gleichung richtig zu lösen *grml*
Aber gut zu wissen dass dabei auch Lösungen rauskommen können die nicht passen.
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