Komplexe Fourierreihe sin(2x) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Forum! :)
Ich habe ein Problem bezüglich der Entwicklung der komplexen Fourierreihe der Funktion sin(2x).
Und zwar ist diese Funktion doch Pi-Periodisch. Jedoch wurde in der Musterlösung einer Aufgabe der Uni der Koeffizient Cn wie folgt entwickelt:
[mm] \bruch{1}{2*\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{sin(2*x) *e^{-i*k*x}dx}
[/mm]
Diese Grenzen geben natürlich ein anderes Resultat, als wenn ich die Grenzen nur von 0 bis Pi setze, was doch eigentlich möglich sein sollte.
Kann mir jemand sagen, woher das kommt? ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Di 30.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Forum! :)
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> Ich habe ein Problem bezüglich der Entwicklung der
> komplexen Fourierreihe der Funktion sin(2x).
>
> Und zwar ist diese Funktion doch Pi-Periodisch. Jedoch
> wurde in der Musterlösung einer Aufgabe der Uni der
> Koeffizient Cn wie folgt entwickelt:
>
> [mm]\bruch{1}{2*\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{sin(2*x) *e^{-i*k*x}dx}[/mm]
>
> Diese Grenzen geben natürlich ein anderes Resultat, als
> wenn ich die Grenzen nur von 0 bis Pi setze, was doch
> eigentlich möglich sein sollte.
Warum? 
Im Ernst: ich verstehe diese Argumentation nicht. Ich vermute, du glaubst ein Muster in der reellen Entwicklung zu sehen und überträgst es ohne weitere Überlegung ins Komplexe.
Dazu Folgendes: Die reellen Funktionen [mm] $\sin [/mm] x$ und [mm] $\cos [/mm] x$ nehmen im Intervall [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] jeden Wert genau zweimal an. Die komplexe Funktion [mm] $e^{-i*x}$ [/mm] nimmt in diesem Intervall jeden Wert nur genau einmal an.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Ushtarador |
hmm aha...
Mein Gedanke war, da die Formel für komplexe Koeffizienten (wenn ich das richtig aufgeschrieben habe bei mir^^) lautet:
[mm] \bruch{1}{T}\cdot{}\integral_{c}^{c+T}{f(x) \cdot{}e^{-i\cdot{}k\cdot{}x}dx}
[/mm]
Wobei T die Periode der Funktion ist. :X
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Mi 31.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hmm aha...
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> Mein Gedanke war, da die Formel für komplexe Koeffizienten
> (wenn ich das richtig aufgeschrieben habe bei mir^^)
> lautet:
>
> [mm]\bruch{1}{T}\cdot{}\integral_{c}^{c+T}{f(x) \cdot{}e^{-i\cdot{}k\cdot{}x}dx}[/mm]
Da fehlt noch die Beziehung [mm] $k=\bruch{2\pi n}{T}$ [/mm] mit [mm] $n\in\IZ$.
[/mm]
>
> Wobei T die Periode der Funktion ist. :X
Hmm ja, ich sehe, dass das so in der Wikipedia steht. Das ist aber missverständlich bis falsch. T ist die Periodenlänge der Grundfrequenz [mm] $\omega$, [/mm] und die steht im Exponenten der e-Funktion, in [mm] $k=n\omega$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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hmm das macht die Sache schon klarer :)
Und wo genau spielt nun die Frequenz der Funktion f(x) eine Rolle hier?
Sehe ich das richtig, dass ich die in $ [mm] k=\bruch{2\pi n}{T} [/mm] $ einsetzen muss?
(dann stimmt auch die Aufgabe, wenn man nur von 0 bis Pi integriert :)).
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Hallo Ushtarador,
> hmm das macht die Sache schon klarer :)
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> Und wo genau spielt nun die Frequenz der Funktion f(x) eine
> Rolle hier?
> Sehe ich das richtig, dass ich die in [mm]k=\bruch{2\pi n}{T}[/mm]
> einsetzen muss?
Das siehst Du vollkommen richtig.
> (dann stimmt auch die Aufgabe, wenn man nur von 0 bis Pi
> integriert :)).
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Ushtarador |
Wunderbar, vielen Dank nochmal und ein gutes neues Jahr euch :D
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