Komplexe Fourierkoeffizienten < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Raimo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie allgemein die komplexen Fourierkoeffizienten [mm]c_k[/mm] folgender periodischen Funktion (T=6) und vereinfachen Sie soweit es möglich ist:
[mm]f(t)=\left\{\begin{matrix}2\quad\left[0,1\right[ \\
0\quad\left[1,6\right[\end{matrix}\right.
[/mm] |
Einen schönen guten Abend!
Nachdem das Board mir schon bei mancher Klausurvorbereitung geholfen hat, möchte ich es nun wagen, selbst eine Frage zu stellen :)
Mit der Berechnung von reellen Fourierkoeffizienten komme ich soweit klar, leider bereitet mir bei den komplexen Fourierkoeffizienten das "scharfe Hinsehen" noch Probleme, so dass ich nicht erkenne, wie ich die Gleichung am Besten vereinfachen kann.
Mein Ansatz bei o.g. Aufgabe:
[mm]
c_k&=&\bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}f(t) e^{-jk\omega t}\, dt
\begin{matrix}
c_k & = & \bruch{1}{6}\integral_{0}^{1}2e^{-j k \omega t}\, dt \\
\ & = & \bruch{1}{3}\integral_{0}^{1}e^{-j k \omega t}\, dt \\
\ & = & \bruch{1}{3}\left[ \bruch {1}{-j \omega k} e^{-j k \omega t} \right] \\
\ & = & \bruch{1}{3}\left( \bruch {1}{-j \omega k} e^{-j k \omega} - \bruch {1}{-j \omega k} e^0 \right) \\
\ & = & \bruch{1}{3} \bruch {1}{-j \omega k} \left( e^{-j k \omega} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch{1}{3} \bruch {1}{-j \bruch{\Pi}{3} k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {1}{-j \Pi k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\end{matrix}
[/mm]
Könnte man die Gleichung noch weiter vereinfachen, oder habe ich in diesem Fall das "Optimale" rausgeholt?
Vielen Dank für alle Hinweise!
Gruß!
Raimo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Raimo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie allgemein die komplexen Fourierkoeffizienten
> [mm]c_k[/mm] folgender periodischen Funktion (T=6) und vereinfachen
> Sie soweit es möglich ist:
>
> [mm]f(t)=\left\{\begin{matrix}2\quad\left[0,1\right[ \\
0\quad\left[1,6\right[\end{matrix}\right.
[/mm]
>
> Einen schönen guten Abend!
>
> Nachdem das Board mir schon bei mancher Klausurvorbereitung
> geholfen hat, möchte ich es nun wagen, selbst eine Frage
> zu stellen :)
>
> Mit der Berechnung von reellen Fourierkoeffizienten komme
> ich soweit klar, leider bereitet mir bei den komplexen
> Fourierkoeffizienten das "scharfe Hinsehen" noch Probleme,
> so dass ich nicht erkenne, wie ich die Gleichung am Besten
> vereinfachen kann.
>
> Mein Ansatz bei o.g. Aufgabe:
>
> [mm]
c_k&=&\bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}f(t) e^{-jk\omega t}\, dt
\begin{matrix}
c_k & = & \bruch{1}{6}\integral_{0}^{1}2e^{-j k \omega t}\, dt \\
\ & = & \bruch{1}{3}\integral_{0}^{1}e^{-j k \omega t}\, dt \\
\ & = & \bruch{1}{3}\left[ \bruch {1}{-j \omega k} e^{-j k \omega t} \right] \\
\ & = & \bruch{1}{3}\left( \bruch {1}{-j \omega k} e^{-j k \omega} - \bruch {1}{-j \omega k} e^0 \right) \\
\ & = & \bruch{1}{3} \bruch {1}{-j \omega k} \left( e^{-j k \omega} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch{1}{3} \bruch {1}{-j \bruch{\Pi}{3} k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {1}{-j \Pi k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\end{matrix}
[/mm]
>
> Könnte man die Gleichung noch weiter vereinfachen, oder
> habe ich in diesem Fall das "Optimale" rausgeholt?
Hier kann noch die ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Identität angewandt werden,
um einen Ausdruck der Form a+bj zu erhalten.
>
> Vielen Dank für alle Hinweise!
>
> Gruß!
> Raimo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 So 12.07.2009 | | Autor: | Raimo |
Vielen Dank für den Hinweis, MathePower!
Dem Tip zur Eulerschen Identität nachgehend habe ich folgende Vereinfachung vorgenommen, von deren Richtigkeit ich allerdings nicht überzeugt bin :)
EDIT: Hie stand was Falsches. Um Verwirrung vorzeubeugen, habe ich als Autor es rausgelöscht.
War das Dein Ansatz, oder sollte ich irgendwas mit einer trigonometrischen Form rausbekommen?
NACHTRAG: Man sollte auch ein bisschen mehr nachdenken, bevor man postet. Potenzen sind ja im angewendeten Fall additiv miteinander verbunden, nicht multiplikativ. Dann muss ich nochmal in mich gehen :)
Gruß!
Raimo
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Hallo Raimo,
> Vielen Dank für den Hinweis, MathePower!
>
> Dem Tip zur Eulerschen Identität nachgehend habe ich
> folgende Vereinfachung vorgenommen, von deren Richtigkeit
> ich allerdings nicht überzeugt bin :)
>
> [mm]
\begin{matrix}
c_k & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^{j \Pi} e^{- \bruch{k}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( - 1 e^{- \bruch{k}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( - 2 e^{- \bruch{k}{3}} \right) \\
\end{matrix}
[/mm]
>
> War das Dein Ansatz, oder sollte ich irgendwas mit einer
> trigonometrischen Form rausbekommen?
>
Da sollte dann irgendetwas mit trigonometrischen Funktionen stehen.
>
> NACHTRAG: Man sollte auch ein bisschen mehr nachdenken,
> bevor man postet. Potenzen sind ja im angewendeten Fall
> additiv miteinander verbunden, nicht multiplikativ. Dann
> muss ich nochmal in mich gehen :)
>
> Gruß!
> Raimo
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 So 12.07.2009 | | Autor: | Raimo |
Auf ein Neues. Ist es eigentlich korrekt, dass ich immer eine neue Frage aufmache? Wenn ich auf eine Antwort antworten möchte, steht da ja ausdrücklich, dass ich dort keine weitere Frage stellen soll...
[mm]
\begin{matrix}
c_k & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^{0-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^0 \left( \cos \left( \bruch{k \Pi}{3} \right) - j \sin \left( \bruch{k \Pi}{3} \right)\right)- 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( \left( \cos \left( \bruch{k \Pi}{3} \right) - j \sin \left( \bruch{k \Pi}{3} \right)\right)- 1 \right) \\
\end{matrix}
[/mm]
Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich die 1 da noch irgendwie wegbekommen sollte...
Nochmals vielen Dank für die Hilfe, MathePower!
Raimo
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Hallo Raimo,
> Auf ein Neues. Ist es eigentlich korrekt, dass ich immer
> eine neue Frage aufmache? Wenn ich auf eine Antwort
> antworten möchte, steht da ja ausdrücklich, dass ich dort
> keine weitere Frage stellen soll...
Sofern die Fragen, die Aufgabe in dem zugehörigen Thread betreffen,
ist nichts dagegen einzuwenden.
>
> [mm]
\begin{matrix}
c_k & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^{-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^{0-j k \bruch{\Pi}{3}} - 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( e^0 \left( \cos \left( \bruch{k \Pi}{3} \right) - j \sin \left( \bruch{k \Pi}{3} \right)\right)- 1 \right) \\
\ & = & \bruch {j}{ \Pi k} \left( \left( \cos \left( \bruch{k \Pi}{3} \right) - j \sin \left( \bruch{k \Pi}{3} \right)\right)- 1 \right) \\
\end{matrix}
[/mm]
>
> Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich die 1 da noch
> irgendwie wegbekommen sollte...
Das passt schon. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nochmals vielen Dank für die Hilfe, MathePower!
>
> Raimo
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 So 12.07.2009 | | Autor: | Raimo |
Dann danke ich Dir für Deine Mühe, MathePower!
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