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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die Folgen [mm] (z_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (|z_{n}|)_{n\in\IN} [/mm] auf Konvergenz.
(a) [mm] z_{n}=n^{3}e^{-4n}(cos(n)+i*sin(n))
[/mm]
(b) [mm] z_{n}=\bruch{n+1}{n}cos(\bruch{n\pi}{2})+i*\bruch{n}{n+1}sin(\bruch{n\pi}{2}) [/mm] |
Lieber Matheraum,
zunächst beziehe ich mich auf den Aufgabenteil (a). Mein Lösungsansatz lautet
[mm] z_{n}=n^{3}e^{-4n}(cos(n)+i*sin(n))
[/mm]
Im Zuge der Eulerschen Formel erhalte ich
[mm] z_{n}=n^{3}*\bruch{1}{e^{4n}}*e^{i*n}
[/mm]
[mm] \gdw n^{3}*e^{n(i-4)}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich bei der Grenzwertbetrachtung mit der Zahl i verfahren soll.
Meine Fragen:
(1) Könnte man sagen, dass der Funktionswert der e-Funktion in diesem Fall ein negatives Vorzeichen hat, da [mm] i=\wurzel{-1}<4 [/mm] gilt?
(2) Wenn ja, gilt dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}=\infty^{3}*e^{-\infty}=0; [/mm] liegt hier also Konvergenz vor?
Vielen Dank bereits im Voraus,
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen Sie die Folgen [mm](z_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm](|z_{n}|)_{n\in\IN}[/mm] auf Konvergenz.
>
> (a) [mm]z_{n}=n^{3}e^{-4n}(cos(n)+i*sin(n))[/mm]
>
> (b)
> [mm]z_{n}=\bruch{n+1}{n}cos(\bruch{n\pi}{2})+i*\bruch{n}{n+1}sin(\bruch{n\pi}{2})[/mm]
> Lieber Matheraum,
>
> zunächst beziehe ich mich auf den Aufgabenteil (a). Mein
> Lösungsansatz lautet
>
>
> [mm]z_{n}=n^{3}e^{-4n}(cos(n)+i*sin(n))[/mm]
>
>
>
> Im Zuge der Eulerschen Formel erhalte ich
>
>
> [mm]z_{n}=n^{3}*\bruch{1}{e^{4n}}*e^{i*n}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw n^{3}*e^{n(i-4)}[/mm]
>
?????????????????????????
>
>
> Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich bei der
> Grenzwertbetrachtung mit der Zahl i verfahren soll.
>
>
>
> Meine Fragen:
>
>
> (1) Könnte man sagen, dass der Funktionswert der e-Funktion
> in diesem Fall ein negatives Vorzeichen hat, da
> [mm]i=\wurzel{-1}<4[/mm] gilt?
Das ist doch Unfug !!
Es ist [mm] |e^{it}| [/mm] = 1 für jedes relle t . Ist dir das klar ?
Weiter: [mm] |z_n| [/mm] = [mm] \bruch{n^3}{e^{4n}} [/mm] ---> 0, also auch [mm] z_n [/mm] --> 0
FRED
>
>
> (2) Wenn ja, gilt dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}=\infty^{3}*e^{-\infty}=0;[/mm]
> liegt hier also Konvergenz vor?
>
>
>
> Vielen Dank bereits im Voraus,
>
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Überprüfen Sie die Folgen [mm](z_{n})_{n\in\IN}[/mm] und
> > [mm](|z_{n}|)_{n\in\IN}[/mm] auf Konvergenz.
> >
> > (a) [mm]z_{n}=n^{3}e^{-4n}(cos(n)+i*sin(n))[/mm]
> >
> > (b)
> >
> [mm]z_{n}=\bruch{n+1}{n}cos(\bruch{n\pi}{2})+i*\bruch{n}{n+1}sin(\bruch{n\pi}{2})[/mm]
> > Lieber Matheraum,
> >
> > zunächst beziehe ich mich auf den Aufgabenteil (a). Mein
> > Lösungsansatz lautet
> >
> >
> > [mm]z_{n}=n^{3}e^{-4n}(cos(n)+i*sin(n))[/mm]
> >
> >
> >
> > Im Zuge der Eulerschen Formel erhalte ich
> >
> >
> > [mm]z_{n}=n^{3}*\bruch{1}{e^{4n}}*e^{i*n}[/mm]
> >
> >
> > [mm]\gdw n^{3}*e^{n(i-4)}[/mm]
> >
>
> ?????????????????????????
>
>
> >
> >
> > Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich bei der
> > Grenzwertbetrachtung mit der Zahl i verfahren soll.
> >
> >
> >
> > Meine Fragen:
> >
> >
> > (1) Könnte man sagen, dass der Funktionswert der e-Funktion
> > in diesem Fall ein negatives Vorzeichen hat, da
> > [mm]i=\wurzel{-1}<4[/mm] gilt?
>
> Das ist doch Unfug !!
>
> Es ist [mm]|e^{it}|[/mm] = 1 für jedes relle t . Ist dir das klar ?
>
>Ja, ich würde sagen es gilt: [mm] |e^{it}|=|cos(t)+i*sin(t)|=\wurzel{(cos(t))^{2}+(sin(t))^{2}}=1
[/mm]
>
> Weiter: [mm]|z_n|[/mm] = [mm]\bruch{n^3}{e^{4n}}[/mm] ---> 0, also auch [mm]z_n[/mm]
> --> 0
>
> FRED
>
> >
> >
> > (2) Wenn ja, gilt dann
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}=\infty^{3}*e^{-\infty}=0;[/mm]
> > liegt hier also Konvergenz vor?
> >
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> >
> > Vielen Dank bereits im Voraus,
> >
> >
> >
> >
> >
> > Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum- Community,
hier würde ich gerne nochmal auf den Aufgabenteil (b) eingehen. Mein Ansazu dazu lautet
[mm] z_{n}=\bruch{n+1}{n}cos(\bruch{n\pi}{2})+i*\bruch{n}{n+1}sin(\bruch{n\pi}{2})
[/mm]
[mm] =(\underbrace{1+\bruch{1}{n}}_{\limes_{n\rightarrow\infty}=1})cos(\bruch{n\pi}{2})+i*(\underbrace{\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}}_{\limes_{n\rightarrow\infty}=1})sin(\bruch{n\pi}{2})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\begin{cases} (-1)^{n}=1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ i(-1)^{n}=-i, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Demzufolge wäre dann ja die Folge [mm] (z_{n})_{n\in\IR} [/mm] nicht konvergent, also divergent.
Meine Bitte:
Es wäre sehr nett, wenn sich das jemand durchlesen und mich auf meine Fehler aufmerksam machen würde.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum- Community,
>
> hier würde ich gerne nochmal auf den Aufgabenteil (b)
> eingehen. Mein Ansazu dazu lautet
>
>
> [mm]z_{n}=\bruch{n+1}{n}cos(\bruch{n\pi}{2})+i*\bruch{n}{n+1}sin(\bruch{n\pi}{2})[/mm]
>
>
> [mm]=(\underbrace{1+\bruch{1}{n}}_{\limes_{n\rightarrow\infty}=1})cos(\bruch{n\pi}{2})+i*(\underbrace{\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}}_{\limes_{n\rightarrow\infty}=1})sin(\bruch{n\pi}{2})[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\begin{cases} (-1)^{n}=1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ i(-1)^{n}=-i, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
Drücke Dich etwas präziser aus: [mm] (z_n) [/mm] ist divergent, weil sie 2 verschiedene Häufungswerte hat.
FRED
> Demzufolge wäre dann ja die Folge [mm](z_{n})_{n\in\IR}[/mm] nicht
> konvergent, also divergent.
>
>
>
> Meine Bitte:
>
>
> Es wäre sehr nett, wenn sich das jemand durchlesen und mich
> auf meine Fehler aufmerksam machen würde.
>
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum- Community,
nochmal der Aufgabenteil (b) für die Folge [mm] (|z_{n}|)_{n\in\IN} [/mm] errechne ich
[mm] (|z_{n}|)_{n\in\IN}=\wurzel{((1+\bruch{1}{n})cos(\bruch{n\pi}{2}))^{2}+((\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}))sin(\bruch{n\pi}{2}))^{2}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\underbrace{(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}_{\limes_{n\rightarrow\infty}=1})(cos(\bruch{n\pi}{2}))^{2}+\underbrace{\bruch{1}{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}}_{\limes_{n\rightarrow\infty}=1}(sin(\bruch{n\pi}{2}))^{2}}
[/mm]
mit
[mm] (cos(\bruch{n\pi}{2}))^{2}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
und
[mm] (sin(\bruch{n\pi}{2}))^{2}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
damit erhalte ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Diese Folge wäre demnach konvergent [mm] \forall [/mm] ungerade [mm] n\in\IN.
[/mm]
Meine Bitte:
Vielleicht könntet ihr auch hier noch einmal drüberschauen, um mich auf meine Fehler aufmerksam zu machen. Ich bedanke mich im Voraus.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:02 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum- Community,
>
> nochmal der Aufgabenteil (b) für die Folge
> [mm](|z_{n}|)_{n\in\IN}[/mm] errechne ich
>
>
> [mm](|z_{n}|)_{n\in\IN}=\wurzel{((1+\bruch{1}{n})cos(\bruch{n\pi}{2}))^{2}+((\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}))sin(\bruch{n\pi}{2}))^{2}}[/mm]
>
>
> [mm]=\wurzel{\underbrace{(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}_{\limes_{n\rightarrow\infty}=1})(cos(\bruch{n\pi}{2}))^{2}+\underbrace{\bruch{1}{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}}_{\limes_{n\rightarrow\infty}=1}(sin(\bruch{n\pi}{2}))^{2}}[/mm]
>
>
> mit
>
>
> [mm](cos(\bruch{n\pi}{2}))^{2}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
> und
>
>
> [mm](sin(\bruch{n\pi}{2}))^{2}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
Das ist falsch ! Es gilt:
$ [mm] (sin(\bruch{n\pi}{2}))^{2}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] $
Damit gilt: [mm] |z_n| [/mm] --> 1
FRED
>
>
> damit erhalte ich
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Diese Folge wäre demnach konvergent [mm]\forall[/mm] ungerade
> [mm]n\in\IN.[/mm]
>
>
>
> Meine Bitte:
>
>
> Vielleicht könntet ihr auch hier noch einmal drüberschauen,
> um mich auf meine Fehler aufmerksam zu machen. Ich bedanke
> mich im Voraus.
>
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Di 20.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank!
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