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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Korgo |
Hallo zusammen,
wie angekündigt, bin ich wieder da und habe wieder ein paar Fragen dabei. :o)
Die Aufgabenstellung ist wieder die gleiche wie bei meiner ersten Frage hier im Forum:
Wie lautet zur der Gleichung die Lösungsmenge z [mm] \in \IC [/mm] ?
1) 2/z + z = j
2) 2j - 6j/z - jz = 2z +1 + 12/z
3) z(z* - 1) = 9 + 3j
4) Im( (z - j) / (z - 1) ) = 0
Meine Ansätze bisher:
Zu 1) Hier leider nichts, ich sehe keinen Ansatz für das 1/z.
Zu 2)
2j - 6j/z - jz = 2z + 1 + 12/z
<=> - 6j/z - 12/z - jz - 2z = -2j + 1
<=> (-12 - 6j)/z - z (2 + j) = 1 - 2j
<=> (-12 - 6j)/(2 + j) * 1/z - z = (1 - 2j)/(2 + j)
<=> (-6 - 4/5j) * 1/z - z = -j
Wieder das 1/z bei dem ich nicht weiterkomme.
Zu 3)
z(z* - 1) = 9 + 3j
<=> zz* - z = 9 + 3j
<=> |z| ^2 - z = 9 + 3j
<=> [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - (x + jy) = 9 + 3j
<=> [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - x - jy = 9 + 3j
<=> [mm] x^2 [/mm] - x + [mm] y^2 [/mm] - jy = 9 + 3j
Zu 4)
Im( (z - j) / (z - 1) ) = 0
<=> Im(( x + jy -j) / (x +jy - 1) ) = 0
<=> Im(( x + j*(y-1) / x - 1 + jy) ) = 0
<=> (y - 1) / y = 0
<=> 1 - 1/y = 0
<=> 1 = 1/y
<=> y = 1
Lösungsmenge: {x + jy | y = 1, x,y [mm] \in \IR [/mm] }
Laut Lösung, soll die Lösung aber {x + jy | y = 1 - x, x,y [mm] \in \IR [/mm] }
Ich verstehe nicht ganz wie in der Lösung ein x vorkommen kann, da ja mit dem Im() nur der imaginäre Teil übrig bleibt.
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Korgo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Korgo!
[mm] $\bruch{2}{z} [/mm] + z \ = \ j$
Setze doch mal ein für $z \ := \ a+j*b$
[mm] $\bruch{2}{a+j*b} [/mm] + a+j*b \ = \ [mm] \bruch{2*(a-j*b)}{(a+j*b)*(a-j*b)} [/mm] + a+j*b \ = \ [mm] \bruch{2a-j*2b}{a^2+b^2} [/mm] + a+j*b$
Dies nun noch etwas zusammenfassen, nach Realteil und Imaginärteil sortieren und dem Ergebnis gegenüberstellen: $j \ = \ 0 + j*1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Korgo |
Hallo Loddar,
danke für die schnelle Antworten.
Ich habe den hinteren Teil der Gleichung mit [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] erweitert, Brüche zusammengefaßt und nach Real- und Imagimärteil getrennt.
Herausbekommen habe ich:
[mm] $\bruch{x^3 + 2x + xy^2}{x^2 + y^2} [/mm] + j [mm] \bruch{x^2y - 2y + y^3}{x^2 + y^2} [/mm] = j [mm] \$
[/mm]
Das nun gleichsetzen mit der Ursprungsgleichung [mm] $\bruch{2}{z} [/mm] + z [mm] \$ [/mm] ?
[mm] $\bruch{x^3 + 2x + xy^2}{x^2 + y^2} [/mm] + j [mm] \bruch{x^2y - 2y + y^3}{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{z} [/mm] + z [mm] \$
[/mm]
Korgo
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Hallo!
Ich bin mir nicht so ganz sicher, aber ich probier's mal mit einer Antwort:
> Herausbekommen habe ich:
>
> [mm]\bruch{x^3 + 2x + xy^2}{x^2 + y^2} + j \bruch{x^2y - 2y + y^3}{x^2 + y^2} = j \[/mm]
>
> Das nun gleichsetzen mit der Ursprungsgleichung
> [mm]\bruch{2}{z} + z \[/mm] ?
Wieso gleichsetzen? Du bist doch von genau dieser Gleichung ausgegangen, und das Ganze soll jetzt einfach =j sein. Und da gilt:
j=0*Re+j*Im
muss der erste Teil, also [mm] \bruch{x^3 + 2x + xy^2}{x^2 + y^2}, [/mm] =0 sein und der zweite Teil, also [mm] \bruch{x^2y - 2y + y^3}{x^2 + y^2}, [/mm] =1. Du hast also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Korgo |
> das Ganze soll jetzt einfach =j sein. Und da gilt:
>
> j=0*Re+j*Im
> Du hast also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen
> und zwei Unbekannten.
Achja, natürlich.
Danke, ich versuche dann die Gleichungen zu lösen.
Korgo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Korgo |
Hallo,
ich habe nun $ [mm] \bruch{x^3 + 2x + xy^2}{x^2 + y^2} [/mm] =0 $ nach x umgestellt um es in $ [mm] \bruch{x^2y - 2y + y^3}{x^2 + y^2}=1 [/mm] $ einsetzen zu können.
Rechnung:
$ [mm] \bruch{x^3 + 2x + xy^2}{x^2 + y^2} [/mm] =0 $
<=> $ [mm] x^3 [/mm] + 2x + [mm] xy^2 [/mm] = 0 $
<=> $ [mm] x^2 [/mm] + 2 + [mm] y^2 [/mm] = 0 $
<=> $ [mm] x^2 [/mm] = [mm] -y^2 [/mm] - 2 $
<=> $ x = [mm] \wurzel{-y^2 - 2} [/mm] $
Das x dann in die zweite Gleichung eingesetzt:
$ [mm] \bruch{x^2y - 2y + y^3}{x^2 + y^2}=1 [/mm] $
<=> $ [mm] \bruch{\wurzel{-y^2 - 2}^2y - 2y + y^3}{ \wurzel{-y^2 - 2}^2 + y^2}=1 [/mm] $
<=> $ [mm] \bruch{-y^3 - 4y + y^3}{-y^2 - 2 + y^2}=1 [/mm] $
<=> $ [mm] \bruch{ - 4y }{ - 2 }=1 [/mm] $
<=> $ y = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
Jetzt noch y in die erste x-Formel einsetzen:
$ x = [mm] \wurzel{-y^2 - 2} [/mm] $
<=> $ x = [mm] \wurzel{-y^2 - 2} [/mm] $
<=> $ x = [mm] \wurzel{-1*(y^2 + 2)} [/mm] $
<=> $ x = [mm] \wurzel{-1* \bruch{9}{4}} [/mm] $
<=> $ x = [mm] \bruch{3}{2}j [/mm] $
$ y = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ; x = [mm] \bruch{3}{2}j [/mm] $
x und y nun in die Definition einsetzen:
$ z = x + jy $
<=> $ z = [mm] \bruch{3}{2}j [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}j [/mm] $
<=> $ z = 2j $
z = 2j ist eine Lösung.
Soweit stimmt das auch mit der vorgegebenen Lösung überein.
Dort ist allerdings auch -j als Lösung angegeben, aber ich habe keine Ahnung wie man darauf kommt.
Hat jemand einen Hinweis?
Korgo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo korgo!
Du hast eine Lösung klammheimlich verschwinden lassen!
Und zwar ...
> <=> [mm]x^3 + 2x + xy^2 = 0[/mm]
>
> <=> [mm]x^2 + 2 + y^2 = 0[/mm]
... genau hier!
Du teilst hier die Gleichung durch $x_$ , was etwas fahrlässig ist, da Du Dich ja auch davon überzeugen musst, dass gilt: $x [mm] \not=0$ [/mm] !!
Für [mm] $x\not=0$ [/mm] gilt Dein weiterer Rechenweg. Nun musst Du aber noch zusätzlich untersuchen, was für den Fall $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ 0$ geschieht.
Also mal $x=0_$ in die 2. Gleichung einsetzen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Korgo |
Hallo Loddar,
danke für die schnelle Antwort.
Ja, das mit dem x habe ich in der Eile glatt vergessen, danke.
Also weiter.
x=0:
$ [mm] \bruch{x^2y -2y +y^3}{x^2+ y^2} [/mm] = 1 $
<=> $ [mm] \bruch{y^3 - 2y}{y^2} [/mm] = 1 $
<=> $ y - [mm] \bruch{2}{y} [/mm] = 1 $
<=> $ [mm] y^2 [/mm] - 2 = y $
<=> $ [mm] y^2 [/mm] - y - 2 = 0 $
<=> $ (y - 2)(y + 1) = 0 $
$ y = 2 [mm] \vee [/mm] y = -1 $
Und wieder in die Definition einsetzen:
$ z = x + jy $
$ z = 0 + 2j = 2j$
und
$ z = 0 + (-1)j = -j $
Vielen Dank
Korgo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Do 01.09.2005 | | Autor: | Korgo |
> Gemäß Definition sind [mm]x_[/mm] und [mm]y_[/mm] reelle
> Zahlen!!!
>
> Das heißt also, aus diesem Zweig der Rechnung existieren
> keine Lösungen!
Ok, damit ist dann eine weitere Frage geklärt, über die ich mir Gedanken gemacht habe, danke. :o)
Korgo
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Hallo Korgo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zu 2)
> 2j - 6j/z - jz = 2z + 1 + 12/z
> <=> - 6j/z - 12/z - jz - 2z = -2j + 1
> <=> (-12 - 6j)/z - z (2 + j) = 1 - 2j
> <=> (-12 - 6j)/(2 + j) * 1/z - z = (1 - 2j)/(2 + j)
> <=> (-6 - 4/5j) * 1/z - z = -j
>
> Wieder das 1/z bei dem ich nicht weiterkomme.
hier mit z durchmultiplizieren und die entstehende quadratische Gleichung lösen.
>
> Zu 3)
> z(z* - 1) = 9 + 3j
> <=> zz* - z = 9 + 3j
> <=> |z| ^2 - z = 9 + 3j
Ist hier etwa z*[mm]\;=\;\overline z [/mm] ?
> <=> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - (x + jy) = 9 + 3j
> <=> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - x - jy = 9 + 3j
> <=> [mm]x^2[/mm] - x + [mm]y^2[/mm] - jy = 9 + 3j
Löse die zwei entstehenden Gleichungen.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Do 01.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab die Diskussion gelesen, nichts falsch aber schon beim Lesen vergeht einem ja der Spass und es sieht kompliziert aus. die ersten 2 sind einfache quadratische Gl. in z wenn man mit z multipliziert, die löst man mit pq bzw. quadratischer ergänzung und ist in 1 bis 2 Zeilen fertig!Bsp.1)
[mm] \bruch{2}{z}+z-j?0 z^{2}-jz+2=0 [/mm] z=0,5j [mm] \pm j*\wurzel{2,25}
[/mm]
fertig!
3) [mm] |z|^{2}=9 [/mm] +3j+z die rechte Seite muss reel sein, weil die linke reell ist also Im(z)=-3j damit [mm] |z|^{2}=9 [/mm] also x^(2)+9=9 x=0 z=-3j fertig
[mm] 4)\bruch{z-j}{z-1} [/mm] in realteil und imgteil zerlegen,also mit z*-1 erweitern
Im(zz*-jz*-jz+j)=0 Im(-j(z*+z)+j=0 -2jx+j=0 x=0,5
Gruss leduart
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
!!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das ist nicht richtig!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Gemäß Definition sind $x_$ und $y_$ reelle Zahlen!!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Bis hierher richtig ...
