Komplette Kurvendiskussion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Fr 28.01.2005 | | Autor: | MIB |
Hallo,
ich wollte mal fragen, ob es hier etwas gibt, eine Art Anleitung, wie man eine Kurvendiskussion komplett löst:
Definitionsbereich
Wertebereich
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereich
Schnittpunkt mit der x- und y- Achse
1 - 3 Ableitung
Extrempunkte, Wendestelle, Wendepunkt, Nullstellen
Hoffe dass das alles war
Ginbt es so eine Musterlösung, also damit man weiß wie man was machen muss??
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo,
>
> ich wollte mal fragen, ob es hier etwas gibt, eine Art
> Anleitung, wie man eine Kurvendiskussion komplett löst:
>
> Definitionsbereich
> Wertebereich
> Verhalten an den Rändern des Definitionsbereich
> Schnittpunkt mit der x- und y- Achse
> 1 - 3 Ableitung
> Extrempunkte, Wendestelle, Wendepunkt, Nullstellen
>
> Hoffe dass das alles war
>
> Ginbt es so eine Musterlösung, also damit man weiß wie man
> was machen muss??
>
> DANKE
>
Hallo Michael,
ich werde es mal versuchen.
Also bei ganzrationalen Funktionen habe ich Folgendes gelernt:
(1) Definitionsbereich
(2) Symmetrie
(3) gemeinsame Punkte mit den Achsen
(4) Extrempunkte
(5) Monotonie
(6) Wendepunkte
(7) Krümmungsverhalten
(8) Verhalten am Rande des Definitionsbereich
(9) Wertetabelle
(10) Zeichnung
bei gebrochenrationalen Funktionen kamen dann noch diese Analysen dazu:
(1.1) Klassifizierung der Definitionslücken
(1.2) Erstellung einer Ersatzfunktion
(8.1) Asymptotenfunktion
Wir haben leider noch keine Musterlösung für eine Kurvendiskussion,
deshalb empfehle ich dir, einmal hier zu gucken: ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Kurvendiskussion
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Fr 28.01.2005 | | Autor: | MIB |
Wunderbar, so etwas in der Richtung hatte ich gesucht.
Mal gucken, vielleicht kann ich ja mal demnächst so eine Art Musterlösung verfassen.
DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Fr 28.01.2005 | | Autor: | informix |
Hallo MIB,
> Wunderbar, so etwas in der Richtung hatte ich gesucht.
>
> Mal gucken, vielleicht kann ich ja mal demnächst so eine
> Art Musterlösung verfassen.
>
Das wäre klasse! Dann wäre ich (mit wenigen Ausnahmen) nicht mehr allein beim Füllen der Datenbank.
Also: nur zu, wenn dir zu dem Bisherigen Verbesserungen einfallen, kannst du die Einträge kommentieren oder eine PM schreiben oder gleich verbessern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 28.01.2005 | | Autor: | MIB |
Hallo,
ich schreibe erstmal wie ich mir die Schritte vorstelle, wollte Dich bitten da mal rüber zu gucken, wenn das so in Ordnung ist, wer soll es besser wissen als ein Lehrer?? (Ich darf doch Du sagen, oder??), werde ich das Ganze auch noch mal an einem Beispiel versuchen zu verdeutlichen.
1) Definitionsbereich
2) Achsen- oder punktsymmetrisch
3) Das Verhalten für x --> + ∞ und x --> - ∞
4) Achsenschnittpunkte (Sy, Sx)
5) Mögliche und Tatsächliche Extremstellen
(Fallunterscheidung)
6) Wendepunkt
7) Definitionsbereich
So, das wären meine Schritte, fehlt da noch was?
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Hallo MIB,
>
> ich schreibe erstmal wie ich mir die Schritte vorstelle,
> wollte Dich bitten da mal rüber zu gucken, wenn das so in
> Ordnung ist, wer soll es besser wissen als ein Lehrer??
> (Ich darf doch Du sagen, oder??) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , werde ich das Ganze auch
> noch mal an einem Beispiel versuchen zu verdeutlichen.
>
> 1) Definitionsbereich, insbesondere Lücken
> 2) Achsen- oder punktsymmetrisch
> 3) Das Verhalten für x [mm] \rightarrow [/mm] + [mm] \infty [/mm] und x [mm] \rightarrow [/mm] - [mm] \infty [/mm]
> 4) Achsenschnittpunkte [mm] (S_y, S_x)
[/mm]
> 5) Mögliche und Tatsächliche Extremstellen (Fallunterscheidung)
> 6) Wendepunkt
> 7) Definitionsbereich siehe oben, eher: Wertebereich
>
> So, das wären meine Schritte, fehlt da noch was?
>
sicherlich die Zeichnung, aber das meinst du wohl nicht. 
Dafür kannst du übrigens auch FunkyPlot nehmen! Jedenfalls zur schnellen Übersicht.
Dabei darft du die Zeichnungen "von Hand" aber nicht vernachlässigen, denn bei Klausuren hast du ja keinen PC!
Klick mal auf meine Formeln, damit du siehst, wie ich sie geschrieben habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Fr 28.01.2005 | | Autor: | MIB |
Bitte mal auf Fehler durchsuchen, danke
Zunächst einmal etwas Allgemeines:
Errechnung eines Extrempunktes:
1)
f'(x) = 0
Ist die Bedingung erfüllt, liegt eine mögliche Extremstelle vor.
Ist die Bedingung nicht erfüllt, gibt es keinen Extrempunkt.
2)
f''(x) [mm] \not= [/mm] 0
Ist diese Bedingung erfüllt, liegt ein Extrempunkt vor.
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, dann ist keine Aussage über den Extrempunkt möglich.
--> Dann Prüfung mittels Vorzeichenwechsel-Kriterium bei f'(x)
Kurvendiskussion:
Ich mache erstmal die 3 Ableitungen:
f (x) = [mm] 3x^4 [/mm] - [mm] 8x^3 [/mm] + [mm] 6x^2
[/mm]
f'(x) = [mm] 12x^3 [/mm] - [mm] 24x^2 [/mm] + 12x
f''(x) = [mm] 36x^2 [/mm] - 48x + 12
f'''(x) = 72x - 48
Erklärung:
Mann nimmt die Hochzahl mal den Wert vor dem x, hier 3*4 = 12. Dabei verringert sich der Exponent (Hochzahl) um jeweils eins. Also aus 4 wird 3.
Das macht man der ganzen Funktion.
8*3 = 24, aus dem Exponenten 3 wird 2.
6*2 = 12, aus dem Exponenten 2 wird 1, also x, da x = [mm] x^1
[/mm]
Dann das Gleiche mit der 1 Ableitung, damit man die zweite Ableitung bekommt und dann mit der zweiten, damit man die dritte erhält (Hier fällt das Absolutglied weg, das ist in diesem Fall die 12 und bei 48x fällt das x weg)
1) Definitionsbereich
D = [mm] \IR
[/mm]
2) Verhalten im Unendlichen:
für x --> + [mm] \infty [/mm] gilt f(x) --> + [mm] \infty
[/mm]
für x --> - [mm] \infty [/mm] gilt f(x) --> + [mm] \infty
[/mm]
Einfach für x einen hohen Wert einsetzen, einmal positiv, einmal negativ
3) Symmetrieverhalten:
kein Symmetrieverhalten zu erkennen, da gerade und ungerade Exponenten zu vorhanden.
Erklärung:
Achsensymmetrisch, wenn alle Exponenten von x GERADE sind [mm] (x^2, x^4, x^6...)
[/mm]
Punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten von x UNGERADE sind [mm] (x^1, x^3, x^5...)
[/mm]
Keine Symmetrie zu erkennen, wenn UNGERADE und GERADE Exponenten vorhanden sind [mm] (x^4, x^3, x^2...)
[/mm]
4) Achsenschnittpunkte:
a) Schnittpunkt mit der y-Achse:
x = 0
f(0) = 3*0-8-0*6-0
f(0) = 0
Sy(0/0)
b) Schnittpunkt mit der x-Achse
f(x) = 0
0 = [mm] 3x^4 [/mm] - [mm] 8x^3 [/mm] + [mm] 6x^2
[/mm]
[mm] x^2 (3x^2 [/mm] - 8x + 6) = 0
[mm] x_1/2 [/mm] = 0 v [mm] 3x^2 [/mm] - 8x + 6 = 0 / : 3
[mm] x^2 [/mm] - [mm] 2\bruch{2}{3}x [/mm] + 2
Nun wenden wir die pq-Formel an:
[mm] x_1/2 [/mm] = - [mm] \bruch{p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p}{2^2}-q}
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = 2 [mm] \bruch{2}{3}\pm \wurzel{-\bruch{p}{2}^2 -2}
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \bruch{8}{9}\pm \wurzel- 5\bruch{1}{9}
[/mm]
5)
f'(x) = [mm] 12x^3 [/mm] - [mm] 24x^2 [/mm] + 12x
0 = [mm] 12x^3 [/mm] - [mm] 24x^2 [/mm] + 12x
0 = [mm] x(12x^2 [/mm] - 24x + 12)
[mm] x_1 [/mm] = 0 v [mm] 12x^2 [/mm] - 24x +12 / : 12
[mm] x^2 [/mm] - 2x + 1
Nun wieder die pq-Formel:
[mm] x_2/3 [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{1 - 1}
[/mm]
[mm] x_2/3 [/mm] = 1 [mm] \pm [/mm] 0
[mm] x_2/3 [/mm] = 1 mögliche Extremstellen
f''(x) = [mm] 36x^2 [/mm] - 48x + 12 (Gleiche Schritte wie eben, durch 2, dann pq-Formel)
f'(- 0,1) = -1,452
f'(0,1) = +0,972
VZW bei x = 0 f'(0,9) = + 0,108 kein VZW, keine Extremstelle
f'(1,1) = 0,13 kein VZW, keine Extremstelle
f''(x) = [mm] 36x^2 [/mm] - 48x + 12
f''(0) = 36 * [mm] 0^2 [/mm] * 48 * 0 + 12
f''(0) = 12 > 0 TP
f''(1) = 36 * [mm] 1^2 [/mm] - 48 * 1 + 12
f''(1)= 0 keine Aussage möglich
f(0) = 3 * [mm] 0^4 [/mm] - [mm] 8^3 [/mm] + 6 * [mm] 0^2
[/mm]
f(x) = 0
TP (0/0)
f'''(1) = 24 [mm] \not= [/mm] 0
[mm] f'''(\bruch{1}{3}) [/mm] = - 24 [mm] \not= [/mm] 0 WS f''(x) = 0
0 = 36 [mm] x^2 [/mm] - 48x + 12 / : 36
0 = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
pq-Formel
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} \pm \wurzel\bruch{2}{3}^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\pm \wurzel \bruch{1}{9}
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\pm \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = 1
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Beides [mm] (x_1/2) [/mm] sind mögliche Wendepunkte
SP.: Bedingung kommt noch
x = 1 SP (1/1)
x = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] Kein SP
7)
Wertebereich
[mm] \IW [/mm] = [mm] \IR_0^+
[/mm]
8) Zeichnung:
Kommt später
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Hallo MIB,
>
> Zunächst einmal etwas Allgemeines:
> Errechnung eines Extrempunktes:
> 1)
> f'(x) = 0
> Ist die Bedingung erfüllt, liegt eine mögliche Extremstelle vor.
Das ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt.
> Ist die Bedingung nicht erfüllt, gibt es keinen Extrempunkt.
> 2)
> f''(x) [mm]\not=[/mm] 0
> Ist diese Bedingung erfüllt, liegt ein Extrempunkt vor.
Das ist die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt.
> Ist diese Bedingung nicht erfüllt, dann ist keine Aussage
> über den Extrempunkt möglich.
> --> Dann Prüfung mittels Vorzeichenwechsel-Kriterium bei f'(x)
>
> Kurvendiskussion:
> Ich mache erstmal die 3 Ableitungen:
[mm] f (x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 [/mm]
[mm]f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x [/mm]
> f''(x) = [mm]36x^2[/mm] - 48x + 12
> f'''(x) = 72x - 48
Wenn du den ganzen Term mit [ mm]... [/ mm] einklammerst, sieht es professioneller und einheitlicher aus.
> Erklärung:
>
> Mann nimmt die Hochzahl mal den Wert vor dem x, hier 3*4 =
> 12. Dabei verringert sich der Exponent (Hochzahl) um
> jeweils eins. Also aus 4 wird 3.
> Das macht man der ganzen Funktion.
> 8*3 = 24, aus dem Exponenten 3 wird 2.
> 6*2 = 12, aus dem Exponenten 2 wird 1, also x, da [mm]x = x^1[/mm]
> Dann das Gleiche mit der 1 Ableitung, damit man die zweite
> Ableitung bekommt und dann mit der zweiten, damit man die
> dritte erhält (Hier fällt das Absolutglied weg, das ist in
> diesem Fall die 12 und bei 48x fällt das x weg)
na, über die Formulierung kann man streiten. aber
> 1)
> Definitionsbereich
Das geht kürzer mit zwei []um das Stichwort:  Schluesselwort
>
> D = [mm]\IR[/mm]
>
> 2) Verhalten im Unendlichen:
> für x --> + [mm]\infty[/mm] gilt f(x) --> + [mm]\infty[/mm]
> für x [mm] \rightarrow [/mm] -[mm]\infty[/mm] gilt f(x) [mm] \rightarrow [/mm] +[mm]\infty[/mm]
>
> Einfach für x einen hohen Wert einsetzen, einmal positiv, einmal negativ
>
> 3) Symmetrieverhalten:
>
> kein Symmetrieverhalten zu erkennen, da gerade und ungerade
> Exponenten zu vorhanden.
>
> Erklärung:
>
> Achsensymmetrisch, wenn alle Exponenten von x GERADE sind
> [mm](x^2, x^4, x^6...)[/mm]
> Punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten
> von x UNGERADE sind [mm](x^1, x^3, x^5...)[/mm]
> Keine Symmetrie zu
> erkennen, wenn UNGERADE und GERADE Exponenten vorhanden
> sind [mm](x^4, x^3, x^2...)[/mm]
>
> 4) Achsenschnittpunkte:
> a) Schnittpunkt mit der y-Achse:
> x = 0
>
> f(0) = 3*0-8-0*6-0
> f(0) = 0
> Sy(0/0)
>
> b) Schnittpunkt mit der x-Achse
> f(x) = 0
> [mm]0 = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2[/mm]
> [mm]x^2 (3x^2[/mm] - 8x + 6) = 0
> [mm]x_{1/2} = 0 \vee 3x^2 - 8x + 6 = 0[/mm] | : 3
[mm]x^2 - \bruch{8}{3}x + 2 \green{=0}[/mm]
> Nun wenden wir die pq-Formel an:
bis hierher habe ich keine Fehler gefunden ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
[mm]x_{1/2} = - \bruch{p}{2} \pm \wurzel{\left( \bruch{p}{2}\right)^2 -q}[/mm]
[mm]x_{1/2} = \bruch{4}{3}\pm \wurzel{ \left( \bruch{4}{3}\right)^2 - 2}[/mm]
[mm]x_{1/2} = \bruch{4}{3}\pm \wurzel{\bruch{16}{9}-2}[/mm]
Diskriminante ist <0 [mm] \Rightarrow [/mm] keine weiteren Nullstellen.
benutze keine gemischten Zahlen,
sondern lieber unechte Brüche wie [mm] $\bruch{4}{9}$
[/mm]
und wenn du malnehmen willst, mach auch einen Malpunkt *
![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]") ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") .. ich mache morgen früh weiter
aber hier schon mal eine Zeichnung zur Belohnung!
[Dateianhang nicht öffentlich]
> 5)
>
> f'(x) = [mm]12x^3[/mm] - [mm]24x^2[/mm] + 12x
> 0 = [mm]12x^3[/mm] - [mm]24x^2[/mm] + 12x
> 0 = [mm]x(12x^2[/mm] - 24x + 12)
[mm]x_1[/mm] = 0 [mm] \vee 12x^2 [/mm] - 24x +12=0 [/mm] | : 12
[mm]x^2 - 2x + 1=0 [/mm]
>
> Nun wieder die pq-Formel:
oder besser mit der Binomischen Formel:
[mm]x^2 - 2x + 1=0 = (x-1)^2[/mm]
[mm] \Rightarrow $x_E [/mm] = 1$ Kandidaten für Extremstellen
> [mm]x_2/3[/mm] = 1 [mm]\pm \wurzel{1 - 1}[/mm]
> [mm]x_2/3[/mm] = 1 [mm]\pm[/mm] 0
> [mm]x_2/3[/mm] = 1 mögliche Extremstellen
einsetzen in f''(x) als hinreichende Bedingung:
$f''(1) = 0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] Wendepunkt? Keine endgültige Entscheidung.
> f''(x) = [mm]36x^2[/mm] - 48x + 12 (Gleiche Schritte wie eben,
> durch 2, dann pq-Formel) wozu dies hier?
Vorzeichenwechselkriterium für f' bei 0 und 1.
f'(- 0,1) = -1,452 < 0
f'(0,1) = +0,972 > 0
VZW bei x = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Extremstelle bei [mm] x_E [/mm] = 0
f'(0,9) = + 0,108
f'(1,1) = 0,13
kein VZW, keine Extremstelle
es reicht auf Vorzeichen zu prüfen
> f''(x) = [mm]36x^2[/mm] - 48x + 12
> f''(0) = 36 * [mm]0^2[/mm] * 48 * 0 + 12
> f''(0) = 12 > 0 TP
> f''(1) = 36 * [mm]1^2[/mm] - 48 * 1 + 12
> f''(1)= 0 keine Aussage möglich
> f(0) = 3 * [mm]0^4[/mm] - [mm]8^3[/mm] + 6 * [mm]0^2[/mm]
> f(x) = 0
>
> TP (0/0)
>
> f'''(1) = 24 [mm]\not=[/mm] 0
>
> [mm]f'''(\bruch{1}{3})[/mm] = - 24 [mm]\not=[/mm] 0 WS f''(x) = 0
> 0 = 36 [mm]x^2[/mm] - 48x + 12 / : 36
> 0 = [mm]x^2[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}x[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> pq-Formel
>
[mm]x_{1/2}= \bruch{2}{3} \pm \wurzel\(bruch{2}{3})^2[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]x_1/2[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}\pm \wurzel \bruch{1}{9}[/mm]
[mm]x_1/2 = \bruch{2}{3}\pm \bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = 1
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Beides [mm](x_1/2)[/mm] sind mögliche Wendepunkte
>
> SP.: Bedingung kommt noch
>
> x = 1 SP (1/1)
> x = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] Kein SP
>
> 7) Wertebereich
>
> [mm]\IW = \IR_0^+[/mm]
>
> 8) Zeichnung:
>
> Kommt später
[Dateianhang nicht öffentlich]
Fazit:
mathematisch alles richtig, nur die Schreibweise kannst du noch verbessern.
Wenn du am Anfang und am Ende jeder Formel nur ein [ mm] ...[ /mm ] setzt, werden auch die Formeln im Editor leichter lesbar und du erkennst Klammersetzungen leichter.
Bei den Kriterien für Extremstellen und Wendestellen hast du noch Probleme, die Übersicht zu behalten.
Im allgemeinen reicht es, das Kriterium "mit der nächsthöheren Ableitung =0" zu prüfen, nur wenn das zu keinem brauchbaren Ergebnis führt, wende das VzW-Kriterium an.
Klasse gemacht! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Sa 29.01.2005 | | Autor: | MIB |
Wunderbar
Ich werde demnächst meinen Beitrag noch mal edieren und dann die Formeln in [mm]../mm] umwandeln, aber das braucht noch ein paar Tage, da ich mich für Montag erstmal auf meine EDV-Klausur einstellen muss.
Bis die Tage...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Sa 29.01.2005 | | Autor: | MIB |
Denke mal, dass ich die Klausur gut hinbekomme.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 01.02.2005 | | Autor: | MIB |
Hallo,
ich habe nun ein weiteres Beispiel gerechnet, bitte mal drüber gucken, bzw. unten Nr 5,6 bräuchte ich mal Hilfe, da ich nicht weis wie es weiter gehen soll.
f(x) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 2x
f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] + 2x - 2
f''(x) = 6x + 2
f'''(x) = 6
1) Definitionsbereich
D = [mm] \IR
[/mm]
2) Verhalten im Unendlichen
für x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] gilt, f(x) [mm] \to [/mm] + [mm] \infty
[/mm]
für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] gilt, f(x) [mm] \to [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
3) Symmetreiverhalten
Keine Symmetrie zu erkennen, da gerade und ungerade Exponenten vorhanden.
4) Achsenschnittpunkte
a) Schnittpunkt mit der y-Achse
f (0) = [mm] 0^3 [/mm] + [mm] 0^2 [/mm] - 2 * 0
f (0) = 0
Sy(0/0)
b) Schnittpunkt mit der x-Achse
f(x) = 0
0 = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 2x
-2x [mm] (-\bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{2}x) [/mm] + 1)
[mm] x_1 [/mm] = 0
- [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{2}x) [/mm] + 1 = 0 / : [mm] (-\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + x - 2 = 0
[mm] x_2/_3 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{1}{2})^2 + 2}
[/mm]
[mm] x_2/_3 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{2,25}
[/mm]
[mm] x_2/_3 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} \pm [/mm] 1,5
[mm] x_2 [/mm] = 1
[mm] x_3 [/mm] = - 2
5) Extremstellen
f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] + 2x - 2
0 = [mm] 3x^2 [/mm] + 2x - 2
x (3x + 2 - 2)
[mm] x_1 [/mm] = 0
3x + 2 - 2 = 0
Wie geht es nun weiter???
6) Wendepunkt
Was muss ich hier machen?
7) Wertebereich
W = [mm] \IR
[/mm]
8) Zeichnung
Kommt vielleicht später
DANKE
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Hallo MIB,
schön dass du dich an eine neue Aufgabe gewagt hast!
Aber, wie Loddar schon bemerkte, solltest du für eine neue Aufgabe auch stets einen neuen Diskussionsstrang aufmachen. Dann behält man leichter den Überblick.
> > > x (3x + 2 - 2)
> > > [mm]x_1[/mm] = 0
> > ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du kannst ja nur [mm]x[/mm] ausklammern, wenn es auch in
>
> > allen Summanden vorhanden ist.
>
> Dummer Fehler, den ich da gemacht habe
>
> > Hier also durch [mm]3[/mm] teilen und Du erhältst:
> > [mm]x^2 + \bruch{2}{3}x - \bruch{2}{3} \ = \ 0[/mm]
> > Nun
> weiter
> > mit PQFormel ...
>
> [mm]3x^2[/mm] + 2x - 2 = 0 / : 3
> [mm]x^2[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}x[/mm] - [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = 0
>
> [mm]x_2/_3[/mm] = - [mm]\bruch{2}{3} \pm \wurzel{(\bruch{2}{3})^2 + \bruch{2}{3}}[/mm]
richtig: [mm]x_2/_3[/mm] = - [mm]\bruch{1}{3} \pm \wurzel{(\bruch{1}{3})^2 + \bruch{2}{3}}[/mm]
>
von jetzt an ist natürlich auch die Rechnung falsch, zusätzlich zu den Schreibweisen ...
> [mm]x_2/_3[/mm] = - [mm]\bruch{2}{3} \pm \wurzel{1\bruch{1}{9}}[/mm]
besser: [mm]x_2/_3 = - \bruch{1}{3} \pm \wurzel{\bruch{7}{9}}[/mm]
es liest sich eindeutiger, wenn du unechte Brüche anstelle von "gemischten Zahlen" benutzt.
>
> [mm]x_2/_3 = - \bruch{2}{3} \pm 1,05 [/mm]
du solltest nie mit gerundeten Zahlen rechnen!
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{23}{60}[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = - 1 [mm]\bruch{43}{60}[/mm]
korrekt ist: [mm]x_{1,2} = -\bruch{1}{3} \pm \wurzel{\bruch{7}{9}}[/mm]
>
>
> > > 6) Wendepunkt
> > > Was muss ich hier machen?
> > Die möglichen Wendestellen [mm]x_w[/mm] sind die Nullstellen der
> 2.
> > Ableitung (notwendiges Kriterium).
> > Anschließend einsetzen in die 3. Ableitung und
> überprüfen,
> > ob [mm]f'''(x_w) \not= 0[/mm] (hinreichendes Kriterium).
>
> f''(0) = 6x + 2
> 0 = 6x + 2/ - 2
> - 2 = 6x / : 6
> - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = x
>
> In f'''(x) einsetzen
>
> f''(x) = 6x + 2 Achtung, 2. Ableitung!!
f'''(x) = 6 > 0 für alle $x [mm] \in \IR$ \Rightarrow [/mm] Wendepunkt
fertig !!
>
> 6 * [mm](-\bruch{1}{3})[/mm] + 2 = 0
>
> Was nun?
> Vorzeichenwechsel?
>
> > > 7) Wertebereich
> > > W = [mm]\IR[/mm]
> >
> >
> >
> > > 8) Zeichnung
> > > Kommt vielleicht später
> >
> > Klar, erst mal die Extrem- und Wendepunkte berechnen
>
> > ...
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
> >
> > PS: Das nächste mal für eine völlig neue Aufgabe ruhig
>
> > einen neue Frage eröffnen ...
>
> Stimmt das nun bis da hin?
> Fehlt nur noch die Zeichnung, oder?
>
probiers mal mit FunkyPlot
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 01.02.2005 | | Autor: | MIB |
Wieso ist das falsch?
[mm] 3x^2 [/mm] + 2 - 2 = 0 / : 3
[mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] (\bruch{2}{3})
[/mm]
Wieso [mm] (\bruch{1}{3}) [/mm] ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 01.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> Wieso ist das falsch?
> [mm]3x^2 + 2\red{*x} - 2 = 0[/mm] / : 3
> [mm]x^2 + \bruch{2}{3}\red{*x} - (\bruch{2}{3}) \ = \ 0[/mm]
Das stimmt ja auch so (fast, nicht das $x$ unterschlagen hier), aber ...
... gemäß der PQFormel mußt Du ja rechnen:
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{p}{\red{2}} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\left( \bruch{p}{\red{2}} \right)^2 - q}$
[/mm]
Und da steht dann jeweils [mm](\bruch{1}{3})[/mm] !!
Alles klar?
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 01.02.2005 | | Autor: | MIB |
Ja logisch, ich war wegen dem Bruch durcheinander, dass ich das durch 2 vergessen habe, nun ist es wieder alles logisch,
DANKE
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Hallo MIB,
na klasse - der Einsatz hat sich doch gelohnt. ![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]")
> [mm]x_{1,2} = -\bruch{1}{3} \pm \wurzel{\bruch{7}{9}}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = 0,55
> [mm]x_3[/mm] = - 1,22
>
> Wie soll ich die Zahlen hinschreiben, wenn nicht
> gerundet??
Zum Zeichnen ist das natürlich ok,
Aber wenn du jetzt die y-Werte der Extremstellen ausrechnen wolltest, solltest du stets mit den nicht gerundeten Zahlen, also mit der Wurzel, weiterrechnen.
>
> 6) Wendepunkt
> f''(0) = 6x + 2
> 0 = 6x + 2/ - 2
> - 2 = 6x / : 6
> - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = x
>
> In f'''(x) einsetzen
>
> f'''(x) = 6 > 0 für alle [mm]x \in \IR[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Wendepunkt
>
> > > 6 * [mm](-\bruch{1}{3})[/mm] + 2 = 0
>
> 7) Wertebereich
> W = [mm]\IR[/mm]
>
>
> 8) Zeichnung
>
> probiers mal mit FunkyPlot
>
> ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
>
>
Marc freut sich, wenn du das Logo unten rechts noch ausblendest:
<Fenster-Einstellungen> Häkchen weg bei "Logo ...." -- Übernehmen.
Im Fenster bleibt es zu sehen, aber nicht mehr beim Export.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Di 01.02.2005 | | Autor: | MIB |
Habe das Logo weg gemacht.
DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Di 01.02.2005 | | Autor: | informix |
> Habe das Logo weg gemacht.
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DANKE
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