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| Aufgabe | Finden Sie ein Komplement des Unterraums U = [mm] Spann(u_{1} [/mm] , [mm] u_{2} [/mm] , [mm] u_{3} [/mm] )
in [mm] R^{4} [/mm] , wobei [mm] u_{1} [/mm] = (1, 1, 0, 3), [mm] u_{2} [/mm] = (2, 0, 1, 2) und [mm] u_{3} [/mm] = (0, 2,−1, 4).
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Damit es ein Komplement müssen die zwei Bedingungen erfüllt sein:
1) U [mm] \cap [/mm] W = [mm] {\vec{0}}
[/mm]
2) U + W = V ; ist die Summe direkt, so gilt auch U [mm] \oplus [/mm] W = V
U ist ein echter UVR von [mm] R^{3}
[/mm]
Gesucht ist ein W, so dass U [mm] \oplus [/mm] W = V [mm] R^{3}
[/mm]
und U [mm] \cap [/mm] W= [mm] {\vec{0}}
[/mm]
Dann nehme ich mit [mm] e_{1} [/mm] = (1,0,0,0)
[mm] \alpha e_{1} [/mm] = [mm] \beta u_{1} [/mm] + [mm] \gamma u_{1} [/mm] + [mm] \delta u_{1}
[/mm]
[mm] \alpha \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \beta \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \gamma \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \delta \vektor{0 \\ 2 \\ -1 \\ 4}
[/mm]
1 [mm] \alpha [/mm] = 1 [mm] \beta [/mm] + 2 [mm] \gamma [/mm] + 0 [mm] \delta
[/mm]
0 [mm] \alpha [/mm] = 1 [mm] \beta [/mm] + 0 [mm] \gamma [/mm] + 2 [mm] \delta
[/mm]
0 [mm] \alpha [/mm] = 0 [mm] \beta [/mm] + 1 [mm] \gamma [/mm] -1 [mm] \delta
[/mm]
0 [mm] \alpha [/mm] = 3 [mm] \beta [/mm] + 2 [mm] \gamma [/mm] + 4 [mm] \delta
[/mm]
Durch Umformung bin ich drauf gekommen, dass [mm] \alpha [/mm] = 0 , [mm] \beta [/mm] = 0 , [mm] \gamma [/mm] = 0 und [mm] \delta [/mm] = 0
W= Spann [mm] (e_{1}) [/mm] ist Komplement von U ... Ist das soweit richtig?
Danke schön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Do 04.12.2008 | | Autor: | Lenchen89 |
^^ das hab ich auch raus, aber das is ja auch kein Wunder weils die gleiche Vorgehensweise wie bei der Beispielaufgabe in der Übung ist...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Do 04.12.2008 | | Autor: | sethonator |
Scheint aber nicht richtig zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Do 04.12.2008 | | Autor: | MartinP |
Ich hab bei der Aufgabe momentan auch noch Probleme, aber man sollte vielleicht bedenken, dass u1,u2,u3 linear abhängig sind
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Nimm dir eine Basis des [mm] $\IR^4$, [/mm] z.B. die kanonische Standartbasis, und schmeiß diejenigen raus, die in U liegen. Das was dann übrig bleibt, ist Basis eines Komplementes von U.
Gruß, Robert
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WIe jetzt?
Heißt das, dass ich das ganze auch mit [mm] e_{2}, e_{3} [/mm] und [mm] e_{4} [/mm] machen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Heißt das, dass ich das ganze auch mit [mm]e_{2}, e_{3}[/mm] und
> [mm]e_{4}[/mm] machen muss?
Joa... ich mein ich weiß ja nicht was in der Aufgabe verlangt ist... Auf jeden Fall bekommst du auf dieses Weise eine Basis eines Komplements. Für eine elgantere Lösung musst du halt mal deine grauen Zellen etwas anstrengen 
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Do 04.12.2008 | | Autor: | MartinP |
Ändert die Tatsache, dass u1,u2 und u3 linear abhängig sind denn überhaupt nichts an der Bearbeitung der Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ändert die Tatsache, dass u1,u2 und u3 linear abhängig sind
> denn überhaupt nichts an der Bearbeitung der Aufgabe?
Es erschwert die Aufgabe eigentlich eher noch. Das Verfahren was ich dir angegeben habe funktioniert unabhängig davon. Wenn sie linear unabhängig wären, würde es reichen die [mm] $u_i$ [/mm] zu einer Basis von [mm] $\IR^4$ [/mm] zu ergänzen - dann bilden die dabei ergänzten Vektoren eine Basis eines Komplementes von U. Das läuft aber aufs gleiche hinaus, da du beim "Ergänzen" ja sicherlich nur mit Vektoren aus einer Basis ergänzen wirst, die du bereits kennst.
Gruß, Robert
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