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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Es seien U der von den Vektoren (1; 0; 2;-1), (0; 1; 3; 1) und W der von den Vektoren (1; 1;-1; 2), (0; 1; 9;-1) erzeugte Teilraum des [mm]\IR^4[/mm]
a) Gib eine Basis von U +W an und bestimme dim(U [mm]\cap[/mm] W).
b) Finde zu U in [mm]\IR^4[/mm] komplementäre Teilräume [mm]T_1[/mm] und [mm]T_2[/mm], die selbst zueinander komplementär sind. |
Hallo,
mit Aufgabe a) komme ich einigermaßen klar. Die Vektoren [mm]u_1, u_2[/mm] bzw. [mm]v_1, v_2[/mm] sind l.u., bilden also eine Basis der Teilräume U und W.
Da U+W ebenfalls Teilraum des [mm]\IR^4[/mm] ist, kann die Basis aus maximal 4 Vektoren bestehen.
Ich habe mir die Vektoren aus U genommen und um [mm]v_1[/mm] ergänzt. Diese 3 Vektoren sind l.u. Wenn ich jetzt noch [mm]v_2[/mm] hinzufüge, erhalte ich 4 Vektoren, die l.a. sind.
Also hat U+W die Dimension 3 und [mm]u_1, u_2, v_1[/mm] bilden eine Basis.
Mit der Dimensionsformel kann ich dann dim(U [mm]\cap[/mm] W) = 1 bestimmen.
Ist das soweit korrekt?
Bei Teil b) habe ich gedacht, dass ich erst einmal eine Basis des [mm]\IR^4[/mm] suche, die [mm]u_1, u_2[/mm] enthält. Dazu habe ich die beiden Vektoren in eine Matrix geschrieben und auf ZSF gebracht.
[mm] \vektor{1 & 0\\
0& 1\\
2 & 3 \\
-1 & 1} \rightarrow \vektor{1 & 0\\
0& 1\\
0 & 0 \\
0 & 0} [/mm]
Also bilden diese zusammen mit [mm]e_3, e_4[/mm] eine Basis des [mm]\IR^4[/mm].
Sind jetzt der durch [mm]e_3[/mm] erzeugte Teilraum [mm]T_1[/mm] und der durch [mm]e_4[/mm] erzeugte Teilraum [mm]T_2[/mm]?
Viele Grüße,
Palonina
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> Es seien U der von den Vektoren (1; 0; 2;-1), (0; 1; 3; 1)
> und W der von den Vektoren (1; 1;-1; 2), (0; 1; 9;-1)
> erzeugte Teilraum des [mm]\IR^4[/mm]
>
> a) Gib eine Basis von U +W an und bestimme dim(U [mm]\cap[/mm] W).
> b) Finde zu U in [mm]\IR^4[/mm] komplementäre Teilräume [mm]T_1[/mm] und
> [mm]T_2[/mm], die selbst zueinander komplementär sind.
>
> Hallo,
>
> mit Aufgabe a) komme ich einigermaßen klar. Die Vektoren
> [mm]u_1, u_2[/mm] bzw. [mm]v_1, v_2[/mm] sind l.u., bilden also eine Basis
> der Teilräume U und W.
>
> Da U+W ebenfalls Teilraum des [mm]\IR^4[/mm] ist, kann die Basis aus
> maximal 4 Vektoren bestehen.
> Ich habe mir die Vektoren aus U genommen und um [mm]v_1[/mm]
> ergänzt. Diese 3 Vektoren sind l.u. Wenn ich jetzt noch
> [mm]v_2[/mm] hinzufüge, erhalte ich 4 Vektoren, die l.a. sind.
> Also hat U+W die Dimension 3 und [mm]u_1, u_2, v_1[/mm] bilden eine
> Basis.
>
> Mit der Dimensionsformel kann ich dann dim(U [mm]\cap[/mm] W) = 1
> bestimmen.
>
> Ist das soweit korrekt?
Ja.
>
> Bei Teil b) habe ich gedacht, dass ich erst einmal eine
> Basis des [mm]\IR^4[/mm] suche, die [mm]u_1, u_2[/mm] enthält. Dazu habe ich
> die beiden Vektoren in eine Matrix geschrieben und auf ZSF
> gebracht.
>
> [mm]\vektor{1 & 0\\
0& 1\\
2 & 3 \\
-1 & 1} \rightarrow \vektor{1 & 0\\
0& 1\\
0 & 0 \\
0 & 0} [/mm]
Die rechten Vektoren bilden aber jetzt keine Basis von U mehr .
>
> Also bilden diese zusammen mit [mm]e_3, e_4[/mm] eine Basis des
> [mm]\IR^4[/mm].
Das ist richtig, hilft dir aber nicht weiter, da wie gesagt keine Basis von U darunter ist.
>
> Sind jetzt der durch [mm]e_3[/mm] erzeugte Teilraum [mm]T_1[/mm] und der
> durch [mm]e_4[/mm] erzeugte Teilraum [mm]T_2[/mm]?
Gesucht sind Vektoren [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sowie [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2, [/mm] sodass
(1) [mm] u_1,u_2,w_1,w_2 [/mm] eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] bilden (U und der von [mm] w_1,w_2 [/mm] erzeugte Unterraum W sind komplementär),
(2) [mm] u_1,u_2,y_1,y_2 [/mm] eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] bilden (U und der von [mm] y_1,y_2 [/mm] erzeugte Unterraum Y sind komplementär), und
(3) [mm] w_1,w_2,y_1,y_2 [/mm] eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] bilden (W und Y sind komplementär)
>
> Viele Grüße,
> Palonina
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Palonina |
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>> Also bilden diese zusammen mit [mm] e_3, e_4 [/mm] eine Basis des
>> [mm] \IR^4 [/mm].
>Das ist richtig, hilft dir aber nicht weiter, da wie gesagt keine Basis >von U darunter ist.
An dieser Stelle habe ich mich sehr undeutlich ausgedrückt, ich meinte damit [mm]u_1, u_2, e_3, e_4[/mm], die l.u. sind sind. Dann ensprächen [mm]e_3, e_4[/mm] z.B. den [mm]w_1, w_2[/mm], die du in (1) forderst.
Oh, ich glaube, jetzt verstehe ich meinen Denkfehler, ich hatte ein Problem damit, dass [mm]T_1, T_2[/mm] komplementär sein sollen, also [mm]T_1 + T_2 = \IR^4[/mm], weil ich es so verstanden hatte, dass alle 3 Teilräume zusammen [mm]\IR^4[/mm] ergeben sollen.
Deshalb hatte ich mich gefragt, warum du 4 weitere Vektoren benötigst. Jetzt verstehe ich, dass sie paarweise komplementär sein sollen.
Wie finde ich aber die weiteren Vektoren?
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> >>
> >> Also bilden diese zusammen mit [mm]e_3, e_4[/mm] eine Basis des
> >> [mm]\IR^4 [/mm].
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> >Das ist richtig, hilft dir aber nicht weiter, da wie
> gesagt keine Basis >von U darunter ist.
>
> An dieser Stelle habe ich mich sehr undeutlich
> ausgedrückt, ich meinte damit [mm]u_1, u_2, e_3, e_4[/mm], die l.u.
> sind sind. Dann ensprächen [mm]e_3, e_4[/mm] z.B. den [mm]w_1, w_2[/mm], die
> du in (1) forderst.
>
> Oh, ich glaube, jetzt verstehe ich meinen Denkfehler, ich
> hatte ein Problem damit, dass [mm]T_1, T_2[/mm] komplementär sein
> sollen, also [mm]T_1 + T_2 = \IR^4[/mm], weil ich es so verstanden
> hatte, dass alle 3 Teilräume zusammen [mm]\IR^4[/mm] ergeben
> sollen.
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> Deshalb hatte ich mich gefragt, warum du 4 weitere Vektoren
> benötigst. Jetzt verstehe ich, dass sie paarweise
> komplementär sein sollen.
>
> Wie finde ich aber die weiteren Vektoren?
>
Beispielsweise sind auch [mm] u_1,u_2,e_1,e_2 [/mm] linear unabhängig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Palonina |
¡Muchas gracias, donquijote!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 14.11.2011 | | Autor: | InaIna |
Kann mir einer bitte erklären wie 3 vektoren den [mm] lR^4 [/mm] aufspannen können ?
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Hallo InaIna,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Kann mir einer bitte erklären wie 3 vektoren den [mm]lR^4[/mm]
> aufspannen können ?
Das geht nicht. Drei Vektoren spannen maximal einen dreidimensionalen (Unter-)Vektorraum auf. [mm] \IR^4 [/mm] ist jedoch vierdimensional.
LG
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