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| Aufgabe | | Bestimmen Sie zum Lösungsraum U der linearen homogenen Gleichung x-y-z=0 einen komplementären Unterraum U' im [mm] \IR^{3}, [/mm] das heißt: U + U' = [mm] \IR^{3}, [/mm] U [mm] \cap [/mm] U' ={ [mm] \vec{0} [/mm] } |
Hallo,
ich habe folgendes versucht:
Wir haben x-y-z=0
daraus folgt, dass x = y+z ist
dies setzen wir ein: (y+z)-y-z = 0
[mm] \gdw [/mm] y+z - y -z = 0
[mm] \gdw [/mm] y-y = 0
y und z sind also beliebig.
das bedeutet:
[mm] \vektor{y+z \\ y \\ z } [/mm] y,z [mm] \in \IR [/mm]
Also:
y* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + z [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Jetzt muss es aber weitergehen.
In der Aufgabe steht nämlich U+U' = [mm] \IR^{3}
[/mm]
Ich habe aber nur die 2 Vektoren, brauche also noch einen Vektor, um [mm] \IR^{3} [/mm] erzeugen zu können.
der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] würde doch gehen, oder?
Denn a [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + b [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + c [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Alle Skalare, also a,b,c müssten null sein, damit der Nullvektor rauskommt, also linear unabhängig und das ist hier der Fall: a = b = c = 0
Kann ich das so machen, oder bin ich auf dem Holzweg?
Denn in der Lösung steht der Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] , aber mein Vektor, also [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] erfüllt auch die Forderung, dass es lin. unabhängig ist.
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Do 16.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie zum Lösungsraum U der linearen homogenen
> Gleichung x-y-z=0 einen komplementären Unterraum U' im
> [mm]\IR^{3},[/mm] das heißt: U + U' = [mm]\IR^{3},[/mm] U [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U' ={ [mm]\vec{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
>
> Hallo,
>
> ich habe folgendes versucht:
> Wir haben x-y-z=0
> daraus folgt, dass x = y+z ist
> dies setzen wir ein: (y+z)-y-z = 0
> [mm]\gdw[/mm] y+z - y -z = 0
> [mm]\gdw[/mm] y-y = 0
> y und z sind also beliebig.
>
> das bedeutet:
> [mm]\vektor{y+z \\ y \\ z }[/mm] y,z [mm]\in \IR[/mm]
>
> Also:
> y* [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + z [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Jetzt muss es aber weitergehen.
>
> In der Aufgabe steht nämlich U+U' = [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> Ich habe aber nur die 2 Vektoren, brauche also noch einen
> Vektor, um [mm]\IR^{3}[/mm] erzeugen zu können.
> der Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] würde doch gehen, oder?
>
> Denn a [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + b [mm]\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + c
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Alle Skalare, also a,b,c müssten null sein, damit der
> Nullvektor rauskommt, also linear unabhängig und das ist
> hier der Fall: a = b = c = 0
>
> Kann ich das so machen,
Ja
> oder bin ich auf dem Holzweg?
Nein.
>
> Denn in der Lösung steht der Vektor [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> , aber mein Vektor, also [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] erfüllt auch
> die Forderung, dass es lin. unabhängig ist.
So ist es.
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Do 16.06.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, perfekt, vielen Dank für die Antwort.
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