Komplement bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:51 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Wastelander |
| Aufgabe | Bestimmen Sie einen komplementären Untervektorraum zu dem Unterraum
[mm]
U := Lin \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \subset \IR^4
[/mm]
in [mm] \IR^4. [/mm] |
Ich habe mich jetzt die letzten Tage in das Thema eingelesen, allerdings will sich mir keine Lösung zu dieser Aufgabe erschließen. Die Charakteristiken eines Komplements sind mir bekannt, nämlich:
1. $$ U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{0\} [/mm] $$
2. $$ U + W = V = [mm] \IR^4 [/mm] $$
Mir ist auch klar, dass U die Menge aller Linearkombinationen der o.g. Vektoren ist und U + W ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^4 [/mm] usw, aber aus dem ganzen angelesenen Wissen hat sich einfach noch nicht genug "abgesetzt", um von dort darauf zu kommen, wie ich das Komplement bestimme. Ich weiß auch, dass fast jeder beliebige Unterraum von [mm] \IR^4 [/mm] ein Komplement zu U sein könnte, jedoch fühle ich mich in dem Thema derart unsicher, dass ich Euch gerne darum bitten würde mir das in einem Beispiel zu erläutern.
Vielen Dank im Voraus
~W
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> Bestimmen Sie einen komplementären Untervektorraum zu dem
> Unterraum
> [mm]
U := Lin \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \subset \IR^4
[/mm]
Hallo,
bevor Du ein komplement bestimmst, solltest Du erstmal eine Basis von U bestimmen.
Wenn Du diese basis hast, überlegst Du Dir, mit welchem Vektor bzw. welchen Vektoren Du sie zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen kannst.
Die lineare Hülle der ergänzenden vektoren ist dann ein komplementärer Unterraum zu U.
Gruß v. Angela
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Danke wieder einmal für Deine Antwort, Angela.
Darf ich dennoch um ein konkretes Beispiel bitten? Oder auch nur um eine "Schritt-für-Schritt-Anleitung", wie ich zu meinem Ergebnis komme? Welche Berechnungen muss ich genau anstellen, um eine Basis zu U zu bestimmen und wie bestimme ich daraufhin die ergänzenden Vektoren für die Basis zu [mm] \IR^4?
[/mm]
P.S.: Ich habe jetzt seit Deiner Antwort ziellos herumgerechnet - ich weiß ja, wie die Basis zu einem Vektorraum auszusehen hat - aber ich komme auf keinen grünen Zweig. Es ist auch nicht eine Absicht, dass man mir meine Hausaufgaben macht, aber momentan sehe ich einfach noch nicht die nötigen Zusammenhänge.
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> Danke wieder einmal für Deine Antwort, Angela.
>
> Darf ich dennoch um ein konkretes Beispiel bitten? Oder
> auch nur um eine "Schritt-für-Schritt-Anleitung", wie ich
> zu meinem Ergebnis komme? Welche Berechnungen muss ich
> genau anstellen, um eine Basis zu U zu bestimmen und wie
> bestimme ich daraufhin die ergänzenden Vektoren für die
> Basis zu [mm]\IR^4?[/mm]
Hallo,
Kochrezept 1:
stell die 4 Vektoren als Spalten in eine Matrix.
Bring sie auf Zeilenstufenform.
In welchen Spalten stehen die führenden Elemente der Nichtnullzeilen?
Mal angenommen, sie stehen in der 1. und 3.Spalte.
Daraus kannst Du wissen, daß der 1. und 3. der ursprünglich eingesetzen Vektoren eine Basis des aufgespannten Raumes bilden.
Nimm nun in Gedanken die überflüssigen Vektoren aus der ZSF heraus. Überlege Dir, welche Standardvektoren Du einschieben müßtest, damit die Matrix den Rang 4 hat.
Ergänzt Du die Basis von U um diese Vektoren, so hast Du eine Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Kochrezept 2 - hier vielleicht bequemer:
lege die Vektoren als Zeilen in eine Matrix und bring dies auf ZSF.
Richte die verbleibenden Nichtnullzeilen wieder auf: diese Vektoren sind eine Basis von U.
Überlege Dir, welche Standardvektoren Du in die ZSF legen müßtest, damit der Rang =4 ist.
Wenn Du mit diesen Standardvektoren die Basis von U ergänzt, hast Du eine Basis vom [mm] \IR^4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ich erhalte nach Deiner Anleitung folgende ZSF der vier Vektoren:
[mm]
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end {pmatrix}
[/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Da nur in der zweiten Spalte führende Elemente der Nichtnullzeilen stehen wäre also $ \begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} $ die Basis zu U.
Wie wähle ich nun die restlichen 3 Vektoren aus?
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> Ich erhalte nach Deiner Anleitung folgende ZSF der vier
> Vektoren:
Hallo,
das ist keine Zeilenstufenform!
Eine Zeilenstufenform ist eine Treppe, bei welcher unterhalb der führenden Zeilenelemente einer Zeile nur Nullen stehen.
Unterhalb der rot markierten 1 müßten also alles Nullen sein.
Mit welcher Matrix bist Du überhaupt gestartet, und was hast Du dann getan? Das, was ich sehe, wirkt suspekt.
Am besten postest Du mal den Weg.
Gruß v. Angela
> [mm]
\begin {pmatrix}
0 & \red{1} & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end {pmatrix}
[/mm]
>
> Da nur in der zweiten Spalte führende Elemente der
> Nichtnullzeilen stehen wäre also [mm]\begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix}[/mm]
> die Basis zu U.
>
> Wie wähle ich nun die restlichen 3 Vektoren aus?
>
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Hier mein Weg:
[mm]
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
2 & 1 & 1 & 4 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
1 & 1 & -1 &1
\end {pmatrix}
Z2 \to Z2 - 2Z3
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
1 & 1 & -1 &1
\end {pmatrix}
Z3 \to Z3 - Z4
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & -1 &1
\end {pmatrix}
Z4 \to Z4 - Z3
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 1 & -3 &-2
\end {pmatrix}
Z4 \to Z4 - Z1
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end {pmatrix}
[/mm]
Sollte ich jetzt noch die zweite (und damit die restlichen) Zeile(n) auf 0 bringen?
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> Hier mein Weg:
>
>[mm]
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
2 & 1 & 1 & 4 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
1 & 1 & -1 &1
\end {pmatrix}
Z2 \to Z2 - 2Z3
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
1 & 1 & -1 &1
\end {pmatrix}
Z3 \to Z3 - Z4
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
\blue{0 }& \blue{-1} & \blue{3} & \blue{2} \\
\blue{1} & \blue{1} & \blue{-1} & \blue{1}
\end {pmatrix}
Z4 \to Z4 - Z3
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
\red{ 0} & \red{1} & \red{-3 }&\red{-2}
\end {pmatrix}[/mm]
Hallo,
hier ist gründlich etwas schiefgegangen: die rote Zeile stimmt überhaupt nicht.
Z4 [mm] \to [/mm] Z4 - Z1
[mm]
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end {pmatrix}[/mm]
>
> Sollte ich jetzt noch die zweite (und damit die restlichen)
> Zeile(n) auf 0 bringen?
Du mußt hier so lange rechnen, bis Du diese Gestalt hast, die matrix hat nämlich den Rang 2:
[mm]
\begin {pmatrix}
1& \* & \* & \* \\
0 & 1 & \* & \* \\
0 & 0& 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end {pmatrix}[/mm]
Versuch's mal!
Gruß v. Angela
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1. Wieso stimmt sie nicht? Ich rechne sie immer und immer wieder neu und komme auf das gleiche Ergebnis:
[mm]
Z4 - Z3: \begin {pmatrix}
\* & \* & \* & \* \\
\* & \* & \* & \* \\
\* & \* & \* & \* \\
1-1 & 1-0 & -1-2 & 1-3
\end {pmatrix} = \begin {pmatrix}
\* & \* & \* & \* \\
\* & \* & \* & \* \\
\* & \* & \* & \* \\
0 & 1 & -3 & -2
\end {pmatrix}
[/mm]
2. Kannst Du bitte Deinen Beitrag korrigieren? Da fehlt irgendwo ein Schließ-Tag oder ein "end".
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> 1. Wieso stimmt sie nicht? Ich rechne sie immer und immer
> wieder neu und komme auf das gleiche Ergebnis:
>
> [mm]
Z4 - Z3: \begin {pmatrix}
\* & \* & \* & \* \\
\* & \* & \* & \* \\
\* & \* & \* & \* \\
1-1 & 1-0 & -1-2 & 1-3
\end {pmatrix} = \begin {pmatrix}
\* & \* & \* & \* \\
\* & \* & \* & \* \\
\* & \* & \* & \* \\
0 & 1 & -3 & -2
\end {pmatrix}
[/mm]
>
> 2. Kannst Du bitte Deinen Beitrag korrigieren? Da fe
Hallo,
ich habe das korrigiert und dort die Zeilen, die Du verarbeitest zur Gewinnung der roten, blau markiert.
Gruß v. Angela
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Ich verwende aber die ursprüngliche dritte Zeile. Ist das falsch?
(EDIT)
Ich habe die Matrix jetzt in eine Form gebracht, bei der die erste und zweite Zeile Nichtnullzeilen sind, und zwar wiefolgt:
[mm]
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
2 & 1 & 1 & 4 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
1 & 1 & -1 & 1
\end {pmatrix} \to \begin {pmatrix}
1 & 2 & -4 & -1 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 1 & -3 & -2
\end {pmatrix} \to \begin {pmatrix}
1 & 2 & -4 & -1 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end {pmatrix}
[/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Im ersten Schritt mache ich Folgendes:
Z1 + Z3
Z2 - 2Z4
Z3 - Z4
Z4 - Z3
Im zweiten Schritt dann dies:
Z2 * (-1)
Z3 + Z4
Z4 + Z3
Ist das jetzt richtig so? Wenn ja wären $\begin {pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\1 \end {pmatrix}$ und $\begin {pmatrix} 1\\1\\0\\1 \end {pmatrix}$ die Basis von U und ich frage mich immer noch, wie ich diese zu einer Basis von \IR^4 ergänze.
Tut mir leid, dass ich wieder einmal so begriffsstutzig bin bzw nötiges Vorwissen nicht mitbringe. Vielen Dank für die Geduld. :)
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> Ich verwende aber die ursprüngliche dritte Zeile. Ist das
> falsch?
>
> (EDIT)
> Ich habe die Matrix jetzt in eine Form gebracht, bei der
> die erste und zweite Zeile Nichtnullzeilen sind, und zwar
> wiefolgt:
>
> [mm]
\begin {pmatrix}
0 & 1 & -3 & -2 \\
2 & 1 & 1 & 4 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
1 & 1 & -1 & 1
\end {pmatrix} \to \begin {pmatrix}
1 & 2 & -4 & -1 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 1 & -3 & -2
\end {pmatrix} \to \begin {pmatrix}
1 & 2 & -4 & -1 \\
0 & 1 & -3 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end {pmatrix}
[/mm]
>
Hallo,
ja, so sieht das jetzt manierlich aus.
> Ist das jetzt richtig so? Wenn ja wären [mm]\begin {pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\1 \end {pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin {pmatrix} 1\\1\\0\\1 \end {pmatrix}[/mm] die Basis
> von U
Genau, die beiden bilden eine Basis von U.
> und ich frage mich immer noch, wie ich diese zu einer
> Basis von [mm]\IR^4[/mm] ergänze.
So:
Du nimmst aus der ZSF in Gedanken die überflüssigen Spalten heraus:
[mm]
\begin {pmatrix}
1 & 2 & & \\
0 & 1 & & \\
0 & 0 & & \\
0 & 0 & &
\end {pmatrix}, [/mm]
und überlegst Dir, welche Standardbasisvektoren Du einschieben mußt, damit die Matrix den Rang 4 hat:
[mm]
\begin {pmatrix}
1 & 2 & \green{0}&\green{0} \\
0 & 1 &\green{0} & \green{0} \\
0 & 0 &\green{1} &\green{0} \\
0 & 0 & \green{0} & \green{1}
\end {pmatrix}. [/mm]
Die Vektoren [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] ergänzen die beiden anderen zu einer Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Du könntest das zu deiner Beruhigung und Übung testen, indem Du nachschaust, ob die Matrix, die [mm] \begin {pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\1 \end {pmatrix} [/mm], [mm]\begin {pmatrix} 1\\1\\0\\1 \end {pmatrix}, [/mm] [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] in den Spalten hat, den Rang 4 hat.
Gruß v. Angela
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Nochmals danke für Deine Geduld und Hilfe.
Aber ich muss Dich doch nochmal um zwei Gefallen bitten:
1. Korrigierst Du bitte Deinen Beitrag?
2. Woher kommen die beiden ergänzenden Vektoren? Klar, es sind zwei der Basis-Vektoren des [mm] \IR^4, [/mm] aber wieso diese beiden und nicht die anderen? Hast Du sozusagen die anderen beiden auf lineare (Un-)Abhängigkeit geprüft (ggf durch bloßes Hinstarren)? Oder wie bist Du sonst auf sie gekommen?
3. Welchen genauen Zweck hat das Verfahren mit der ZSF bzw wie kommt man darauf, dass man damit die Basisvektoren eines Unterraums wie in der Aufgabe findet? Gibt es dafür Quellen, in denen ich mir mehr Wissen darüber aneignen kann?
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> Nochmals danke für Deine Geduld und Hilfe.
>
> Aber ich muss Dich doch nochmal um zwei Gefallen bitten:
>
> 1. Korrigierst Du bitte Deinen Beitrag?
Hallo,
ja.
> 2. Woher kommen die beiden ergänzenden Vektoren? Klar, es
> sind zwei der Basis-Vektoren des [mm]\IR^4,[/mm] aber wieso diese
> beiden und nicht die anderen? Hast Du sozusagen die anderen
> beiden auf lineare (Un-)Abhängigkeit geprüft (ggf durch
> bloßes Hinstarren)? Oder wie bist Du sonst auf sie
> gekommen?
Zunächst einmal ist es ja so, daß weder die Basis von U noch ihre Ergänzung eindeutig sind.
Mit anderen Verfahren bekommst Du eine andere Basis von U, und es sind jeweils vielerlei Möglichkeiten denkbar, eine Basis von U zu einer des [mm] \IR^4 [/mm] zu ergänzen.
Die Ergänzung mit Standardbasisvektoren ist aufgrund ihrer Einfachheit beim Rechnen so schön, und daß man wirklich immer mit Standardbasisvektoren auffüllen kann, garantiert einem der Basisaustauschsatz.
Wenn Du es so fomulieren willst, habe ich tatsächlich durch "Anstarren" der Matrix und der Einheitsvektoren gesehen, daß ich diese beiden nehmen kann.
Warum das klappt, merkst Du, wenn Du dann wirklich mal diese vier Vektoren nimmst und die Matrix auf ZSF bringst.
> 3. Welchen genauen Zweck hat das Verfahren mit der ZSF
Oh weh... Ich werde das nicht komplett ausführen.
Die Umwandlung Zeilenstufenform ist ja die schematische Durchführung der Lösung einer linearen Gleichung, im Falle der Prüfung der linearen Unabhängigkeit die Lösung eines homogenen LGS.
> bzw
> wie kommt man darauf, dass man damit die Basisvektoren
> eines Unterraums wie in der Aufgabe findet?
Du hattest vier Vektoren eingesetzt, und (im Zuge der Matrixumformung) festgestellt, daß es nicht nur die triviale Möglichkeit gibt, aus ihnen die Null als Linearkombination zu erzeugen. (Wichtig: Def. der linearen (Un)Abhängigkeit)).
Du hast nur Zeilenumformungen durchgeführt. An der von Dir erhaltenen ZSF kannst Du sehen, daß Du, sofern Du nur mit dem ersten und zweiten Vektor gearbeitet hättest, ebenso eine Matrix mit Rang 2 erhalten hättest, also diese beiden nur trivial zu Null linearzukombinieren sind.
Daher die ersten beiden Vektoren als eine (eine. Nicht: die) Basis des U.
> Gibt es dafür
> Quellen, in denen ich mir mehr Wissen darüber aneignen
> kann?
Die Quellen aus denen man schöpft, sind im wesentlichen die Definitionen, sowie die Techniken zum Lösen von linearen Gleichungssystemen - Gauß allen voran!
Ich hatte Dir irgendwo in diesem Thread ja noch eine andere Möglichkeit vorgestellt, wie Du zu einer Basis von U und ihrer Ergänzung kommen kannst, bei welcher die Vektoren in Zeilen gelegt werden. Es ist insofern einfacher, als daß ein Denkschritt fortfällt, hat dafür aber auch Nachteile bei gewissen Aufgabenstellungen - welche ich hier jetzt nicht erkläre.
Gruß v. Angela
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