Kompaktheit einer Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | | Ist die Menge A:= {sin ( [mm] \pi/n [/mm] ) : [mm] n\in \IN [/mm] } kompakt? |
Damit eine Menge kompakt ist muss sie abgeschlossen und beschränkt sein. Da |sin(x)| <= 1 gilt ist sin(x) schonmal beschränkt.
Nun gilt es die Abgeschlossenheit zu zeigen:
Da gilt: Wenn der Abschluss einer Menge A = A ist, ist die Menge abgeschlossen...
Also bestimmt man den Häufungspunkt der Folge (Wenn der gleich 0 ist dann ist die Menge abgeschlossen):
Also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(\pi/n) [/mm] = sin(0) = 0
Der Häufungspunkt ist 0. Nun müssen wir noch schauen ob der Häufungspunkt in der Menge liegt. Wenn ja dann ist die Menge abgeschlossen, wenn nein dann ist sie nicht abgeschlossen.
Da sin( [mm] \pi) [/mm] = 0 ist liegt somit der Häufungspunkt in der Menge und die Menge ist abgeschlossen und somit kompakt. 0 ist kein Häufungspunkt.
Ist aber 0 nicht ein Grenzwert und kein Häufungspunkt? Oder verwechsle ich da ein paar Begriffe? Warum wird hierbei dieser Satz verwendet:
A heißt folgenkompakt [mm] \gdw \forall(x_{n}) \in A^{\IN} \exists [/mm] Teilfolge [mm] (x_{nk}) \existsx \in [/mm] A : [mm] x_{n_{k}} [/mm] -> x
Was sagt dieser Satz überhaupt aus? Wozu brauche ich den Satz in dem obigen Bsp.?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hannes!
Die Elemente der Menge bestehen aus den Gliedern einer nichtkonstanten konvergenten Folge. Daher ist der einzige Häufungspunkt der Grenzwert dieser Folge, das ist vollkommen richtig, ebenso wie deine Überlegung, dass dieser in der Menge enthalten ist.
Die Menge ist also kompakt.
In [mm] $\IR$ [/mm] sind die Begriffe "kompakt", "folgenkompakt" sowie "beschränkt und abgeschlossen" äquivalent. Das ist nicht in allen (topologischen) Räumen so.
Du hättest die Kompaktheit also in der Tat auch über die Folgenkompaktheit zeigen können, aber das wären im Wesentlichen die gleichen Argumente gewesen (in diesem Fall).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo....wenn du dir meinen Text oben anschaust, steht da :
"0 ist kein Häufungspunkt"
Das stimmt somit nicht. Ich hab mir dann auch noch aufgeschrieben: Es gibt keine Häufungspunkte da Menge nur aus isolierten Punkten besteht. 0 ist jetzt aber soch ein Häufungspunkt oder?
Das mit dem Häufungspunkt versteh ich noch nicht so ganz....Unter einen Häufungspunkt versteh ich im Begriff der Toplogie ja dass wenn man die Epsilon Umgebung des Punktes mit der Menge schneidet die überbleibende Menge nicht leer sein darf und nicht den Grenzwert.
Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen warum da auf einmal wieder die andere Häufungspunkt-definition aus der Grenzwertbildung hernimmt.....unter Häufungspunkte aus der Grenzwertbildung versteh ich dass eine Folge keinen eindeutigen Grenzwert hat sondern gegen ein paar Häufungspunkte konvergiert.
In dem Bsp. werden die 2 Häufungspunktdefinitionen einfach miteinander vermischt was für mich ziemlich verwirrend ist....was haben die 2 Definitionen in dem Bsp. gemeinsam....hier liegt mein eigentliches Problem.....
mfg,
Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hannes!
Naja, vorher schreibst du: Der Häufungspunkt ist $0$. Dann schreibst du: $0$ ist kein Häufungspunkt.
Du wirst zugeben, dass dies in der Kombination absoluter Nonsens ist und ich daher im zweiten Teil von einem Schreibfehler ausgegangen bin.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mo 30.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hannes
> Hallo....wenn du dir meinen Text oben anschaust, steht da
> :
> "0 ist kein Häufungspunkt"
>
> Das stimmt somit nicht. Ich hab mir dann auch noch
> aufgeschrieben: Es gibt keine Häufungspunkte da Menge nur
> aus isolierten Punkten besteht. 0 ist jetzt aber soch ein
> Häufungspunkt oder?
Was meinst du mit "isolierten" Punkten? 0 ist ja grade nicht isoliert!
0 ist ein Häufungspunkt, denn in jeder Umgebung gibt es beliebig viele Punkte.
> Das mit dem Häufungspunkt versteh ich noch nicht so
> ganz....Unter einen Häufungspunkt versteh ich im Begriff
> der Toplogie ja dass wenn man die Epsilon Umgebung des
> Punktes mit der Menge schneidet die überbleibende Menge
> nicht leer sein darf und nicht den Grenzwert.
"eine" Epsilon Umgebung gibt es nicht, und mit [mm] \epsilon=1,01 [/mm] liegen alle Punkte von M innerhalb der Umgebung!
> Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen warum da auf
> einmal wieder die andere Häufungspunkt-definition aus der
> Grenzwertbildung hernimmt.....unter Häufungspunkte aus der
> Grenzwertbildung versteh ich dass eine Folge keinen
> eindeutigen Grenzwert hat sondern gegen ein paar
> Häufungspunkte konvergiert.
so falsch, wenn eine Folge nur einen HP hat ist sie konvergent, aber das ist dann immer noch ein HP. Die konstante Folge [mm] x_{n}=3 [/mm] hat den HP 3!
> In dem Bsp. werden die 2 Häufungspunktdefinitionen einfach
> miteinander vermischt was für mich ziemlich verwirrend
> ist....was haben die 2 Definitionen in dem Bsp.
> gemeinsam....hier liegt mein eigentliches Problem.....
Du hast da was mit den konvergenten und nicht konv. Folgen durcheinander gebracht.!
Gruss leduart
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