Kompaktheit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 20.09.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
ich versuche gerade die Definition der Kompaktheit in metr. Räumen zu verstehen und anschaulich mir vorzustellen:
Sei $X$ metr. Raum und [mm] $A\subseteq [/mm] X$. Eine offene Überdeckung von $A$ ist [mm] $(U_i)_{i\in I}$, [/mm] s.d. [mm] $\forall [/mm] i: [mm] U_i\subseteq [/mm] X$ und [mm] $A\subseteq \cup_{i\in I}U_i$. [/mm] Die Menge A heißt kompakt, wenn in jeder offenen Überdeckung von A [mm] $(U_i)_{i\in I}$ [/mm] es eine endliche Teilüberdeckung gibt, d.h. [mm] \exists U_{i_1}...U_{i_n} [/mm] mit [mm] i_1,...,i_n\in [/mm] I: [mm] A\subseteq U_{i_1}\cup [/mm] ... [mm] \cup U_{i_n}.
[/mm]
Die offenen Überdeckungen stelle ich mir anschaulich wie [mm] \epsilon [/mm] -Umgebungen vor, die die Menge A überdecken und deren Vereinigung etwas "über A überlappt". So weit so gut.
Wie kann ich mir jetzt aber die endlichen Teilüberdeckungen vorstellen?
Die sollten doch eigentlich ähnlich aussehen. Also wieder vorstellbar als [mm] \epsilon [/mm] -Umgebungen die A ganz bedecken bzw. sogar überdecken.
So jetzt zur Kompaktheit. Heißt der Satz, dass man von den [mm] (U_i)_{i\in I} [/mm] quasi alle überflüssigen [mm] U_i [/mm] streicht, aber schaut, dass die verbleibenden [mm] U_i, [/mm] die nicht gestrichen wurden als Vereinigung noch immer eine Obermenge von A bilden?
Ich hoffe, man versteht, was ich meine. Mir geht es hier auch nicht um korrekte Def., sondern Anschauung!
MfG Ladon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Fr 20.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ladon,
> Sei [mm]X[/mm] metr. Raum und [mm]A\subseteq X[/mm]. Eine offene Überdeckung
> von [mm]A[/mm] ist [mm](U_i)_{i\in I}[/mm], s.d. [mm]\forall i: U_i\subseteq X[/mm]
offen
> und [mm]A\subseteq \cup_{i\in I}U_i[/mm]. Die Menge A heißt
> kompakt, wenn in jeder offenen Überdeckung von A
> [mm](U_i)_{i\in I}[/mm] es eine endliche Teilüberdeckung gibt, d.h.
> [mm]\exists U_{i_1}...U_{i_n}[/mm] mit [mm]i_1,...,i_n\in[/mm] I: [mm]A\subseteq U_{i_1}\cup[/mm]
> ... [mm]\cup U_{i_n}.[/mm]
> Die offenen Überdeckungen stelle ich mir anschaulich wie
> [mm]\epsilon[/mm] -Umgebungen vor, die die Menge A überdecken und
> deren Vereinigung etwas "über A überlappt".
In der Tat ist eine Menge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ schon dann kompakt, wenn die Aussage aus der Definition nur für solche offenen Überdeckungen [mm] $(U_i)_{i\in I}$ [/mm] gilt, in denen jedes [mm] $U_i$ [/mm] eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] für ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] (das von $i$ abhängen darf!) ist.
> Wie kann ich mir jetzt aber die endlichen
> Teilüberdeckungen vorstellen?
> Die sollten doch eigentlich ähnlich aussehen. Also wieder
> vorstellbar als [mm]\epsilon[/mm] -Umgebungen die A ganz bedecken
> bzw. sogar überdecken.
Eine endliche Teilüberdeckung besteht sozusagen aus endlich vielen der offenen Mengen [mm] $U_i$, [/mm] so dass diese endlich vielen Mengen immer noch ganz $A$ überdecken.
> So jetzt zur Kompaktheit. Heißt der Satz, dass man von den
> [mm](U_i)_{i\in I}[/mm] quasi alle überflüssigen [mm]U_i[/mm] streicht,
> aber schaut, dass die verbleibenden [mm]U_i,[/mm] die nicht
> gestrichen wurden als Vereinigung noch immer eine Obermenge
> von A bilden?
Das trifft es ganz gut; nur an der Formulierung "alle überflüssigen [mm] $U_i$" [/mm] störe ich mich ein wenig.
Beispiel: [mm] $X=\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Metrik gegeben durch $d(x,y)=|x-y|$, $A=[0,2]$. Man kann zeigen, dass $A$ kompakt ist. Ich möchte aber nur das Beispiel der offenen Überdeckung [mm] $(B_{1}(a))_{a\in A}$ [/mm] (wobei [mm] $B_{1}(a):=\{x\in\IR\;|\;d(x,a)<1\}=(a-1,a+1)$) [/mm] betrachten.
Jedes einzelne [mm] $B_{1}(a)$ [/mm] könnte man problemlos aus der offenen Überdeckung streichen und würde immer noch eine offene Überdeckung von $A$ erhalten. Aber natürlich kann man nicht alle [mm] $B_{1}(a)$ [/mm] gleichzeitig streichen, wenn man wieder eine Überdeckung erhalten möchte. Man kann die [mm] $B_{1}(a)$ [/mm] also gar nicht sinnvoll in "überflüssig" und "nicht überflüssig" aufteilen.
Man kommt hier zum Überdecken von $A$ in der Tat mit endlich vielen der [mm] $B_{1}(a)$ [/mm] aus; z.B. gilt
[mm] $A\subseteq B_{1}(0)\cup B_{1}(1)\cup B_{1}(2)$.
[/mm]
Das Entscheidende bei Kompaktheit ist, dass man aus JEDER offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung auswählen kann.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo tobit09,
ich danke dir für diese Antwort. Besonders das Beispiel hat mich in meiner Anschauung bzgl. der Definition weitergebracht! Vielen Dank!
MfG Ladon
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