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| Aufgabe | (i) Finden sie eine Folge [mm] (x_{k}) [/mm] im [mm] \IR^{3}, [/mm] welche keine konvergente Teilfolge hat.
(ii) Finden Sie eine beschränkte Menge A [mm] \subset\IR^{2} [/mm] und eine Folge [mm] (x_{k}) [/mm] in A derart, dass [mm] (x_{k}) [/mm] keine in A konvergente Teilfolge besitzt.
(iii) (ii) Finden Sie eine abgeschlossene Menge A [mm] \subset \IR^{2} [/mm] und eine Folge [mm] (x_{k}) [/mm] in A derart, dass [mm] (x_{k}) [/mm] keine in A konvergente Teilfolge besitzt. |
Ich habe folgende Beispiele gefunden, bei denen ich mich frage, ob sie richtig sind. Vllt könnte mir das einer sagen.
(i) [mm] (x_{k}) [/mm] = [mm] \vektor{k \\ k \\ k}
[/mm]
(ii) A = {(x,y)) [mm] \in \IR [/mm] | x > 0 [mm] \wedge [/mm] y>0}, [mm] (x_{k}) [/mm] = [mm] \vektor{x+k \\ y+k}
[/mm]
(iii) A = {(x,y)) [mm] \in \IR [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 100 [mm] \wedge [/mm] 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 100},
[mm] (x_{k}) [/mm] = [mm] \vektor{x+k \\ y+k}
[/mm]
Bei (i) bin ich mir sehr sicher, dass das Beispiel stimmt.
Aber bei (ii) und (iii) weiß ich nicht, ob es ok ist, wenn die Folge aus der Menge hinaus läuft.
Aber wenn sie nicht herauslaufen dürfte, wäre die Folge ja durch die Menge beschränkt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
hallo,
die folgen dürfen die menge nicht verlassen. allerdings heißt das nicht, dass der grenzwert nicht außerhalb von A liegen darf. Beispiel: (0,1) x (0,1) [mm] :=\{(x,y) | 0 \le x,y \le1\} [/mm] ist teilmenge vom [mm] \IR^{2}. [/mm] diese menge ist beschränkt, denn man kann einen beschränkten kreis finden, der diese menge komplett enthält. der rand liegt nicht drin, da die menge offen ist. das zu (ii)
bei der (iii) ist abgeschlossenheit gefordert. der trick mit dem rand geht also nicht. dafür steht da nicht, dass diese menge auch beschränkt sein muss. zum beispiel ist [0,1] x [mm] \IR [/mm] eine abgeschlossene teilmenge vom [mm] \IR^{2}
[/mm]
ich denke mit diesen tipps sollte es machbar sein, solche folgen zu bauen
gruß bernhard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> (i) Finden sie eine Folge [mm](x_{k})[/mm] im [mm]\IR^{3},[/mm] welche keine
> konvergente Teilfolge hat.
>
> (ii) Finden Sie eine beschränkte Menge A [mm]\subset\IR^{2}[/mm]
> und eine Folge [mm](x_{k})[/mm] in A derart, dass [mm](x_{k})[/mm] keine in A
> konvergente Teilfolge besitzt.
>
> (iii) (ii) Finden Sie eine abgeschlossene Menge A [mm]\subset \IR^{2}[/mm]
> und eine Folge [mm](x_{k})[/mm] in A derart, dass [mm](x_{k})[/mm] keine in A
> konvergente Teilfolge besitzt.
>
>
>
> Ich habe folgende Beispiele gefunden, bei denen ich mich
> frage, ob sie richtig sind. Vllt könnte mir das einer
> sagen.
>
> (i) [mm](x_{k})[/mm] = [mm]\vektor{k \\ k \\ k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist O.K.
> (ii) A = {(x,y)) [mm]\in \IR[/mm] | x > 0 [mm]\wedge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y>0}, [mm](x_{k})[/mm] = [mm]\vektor{x+k \\ y+k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Dieses A ist nicht beschränkt !!!
Suche also ein anderes A.
> (iii) A
> = {(x,y)) [mm]\in \IR[/mm] | 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 100 [mm]\wedge[/mm] 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 100},
> [mm](x_{k})[/mm] = [mm]\vektor{x+k \\ y+k}[/mm]
Für diese Folge gilt: [mm] x_k \notin [/mm] A für fast alle k !
Obiges A ist kompakt. In diesem A findest Du also keine Folge mit der geforderten Eigenschaft.
FRED
>
> Bei (i) bin ich mir sehr sicher, dass das Beispiel stimmt.
> Aber bei (ii) und (iii) weiß ich nicht, ob es ok ist,
> wenn die Folge aus der Menge hinaus läuft.
> Aber wenn sie nicht herauslaufen dürfte, wäre die Folge
> ja durch die Menge beschränkt.
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