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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Di 11.01.2005 | | Autor: | joas |
Hallo,
folgendes Problem:
Sei [mm] f^{} [/mm] : M [mm] \to [/mm] N eine stetige Abbildung des metrischen Raumes M in den Raum N, K [mm] \subset [/mm] N kompakt.
Ist dann [mm] f^{-1} [/mm] (K) [mm] \subset [/mm] M auch kompakt?
Also: Ist das Urbild kompakter Mengen kompakt?
Dem ist ja wohl nicht so, aber wie kann ich das zeigen?
Gruß joas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi joas,
das dem nicht so ist, kann man doch immer mit einem Gegenbeispiel zeigen.
(wenn du schon eine Vermutung hattest, hast du wahrscheinlich schon an ein beispiel gedacht - ich würde aber einfach die Nullabbildung auf einer offenen Menge aus M nehmen)
Hinweis : dies ist alles Erinnerung, also bitte nochmals genau prüfen !
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Di 11.01.2005 | | Autor: | joas |
Danke für die Antwort.
Gibt es auch die Möglichkeit, einen allgemeinen Beweis zu führen?
Gruß joas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Di 11.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo joas!
Also, wenn eine Aussage nicht stimmt, beweist man sie doch am besten durch ein Gegenbeispiel. Das ist dann ein "allgemeiner Beweis" im Sinne von "im Allgemeinen falsch".
Betrachten wir die stetige Abbildung (wobei [mm] $\IR$ [/mm] mit der Standardtopologie ausgestattet ist)
$f: [mm] \begin{array}{ccc} \IR & \to & \IR\\[5pt]x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & \mbox{falls} \ x \le 0,\\[5pt] x & , & \mbox{sonst}, \end{array} \right.\end{array}$
[/mm]
dann sehen wir, dass das Urbild [mm] $f^{-1}(0)=(-\infty,0]$ [/mm] der kompakten Menge [mm] $\{0\}$ [/mm] nicht kompakt ist.
Viele Grüße
Julius
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