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| Aufgabe | a) Sei K kompakt und f: K [mm] \to [/mm] Y eine stetige Bijektion zwischen metrischen Räumen. Beweise, dass dann auch die Umkehrabbildung [mm] f^{-1}: [/mm] Y [mm] \to [/mm] K stetig ist.
b) Zeige, dass die Funktion f:[0,2 [mm] \pi) \to \IR^{2}, [/mm] g(t)=(cost,sint), ein Beispiel für eine bijektive, stetige Funktion von einem metrischen Raum Y in einen kompakten metrischen Raum K liefert, deren Umkehrabbildung nicht stetig ist. In Teil a) können K und Y also nicht ohne weiteres vertauscht werden. |
guten abend..
also ich versuche gerade, diese Aufgabe zu lösen. Doch ich habe fürchterliche Probleme. Kann mir hierbei vielleicht einer helfen?
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Do 22.06.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
zu a) kriege ich keinen Beweis hin, tut mir leid. Die Aussage scheint irgendwie klar zu sein. Ideen: Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt, also ist Y auch schon mal kompakt.
Wenn jetzt [mm] f^{-1} [/mm] nicht stetig wäre, bekäme man das vielleicht irgendwie zum Widerspruch mit der Kompaktheit von K.
b) ist nicht so schwer. Das Bild der Funktion ist ein Kreis, dieser ist kompakt in R2. Das Urbild jeder Umbebung des Bildes von 0 enthält Elemente aus dem linken und aus dem rechten Rand des Definitionsbereiches. Damit ist f nicht stetig. Male Dir das mal auf und probiere die Details selbst!
Viele Grüße,
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 23.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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