Kompakter Topologischer Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Do 04.05.2006 | | Autor: | ysa |
| Aufgabe | Sei Y ein kompakter topologischer Raum und (Xn) (n-element der natürlichen Zahlen) eine Folge von Punkten in Y.
Dann hat die Folge einen Häufungspunkt in Y, d.h. einen Punkt X element Y, so dass jede Umgebung von X unendlich viele Folgenglieder enthält. |
Wie führe ich diesen Beweis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei Y ein kompakter topologischer Raum und (Xn) (n-element
> der natürlichen Zahlen) eine Folge von Punkten in Y.
> Dann hat die Folge einen Häufungspunkt in Y, d.h. einen
> Punkt X element Y, so dass jede Umgebung von X unendlich
> viele Folgenglieder enthält.
> Wie führe ich diesen Beweis?
Ist bei euch `kompakt' als `hat die endliche Ueberdeckungseigenschaft' definiert, d.h. gibt es zu jeder beliebigen offenen Ueberdeckung von $Y$ eine endliche Teilueberdeckung?
Wenn ja: Nimm doch mal an, dass es keinen Haeufungspunkt gibt. Das bedeutet ja gerade, dass es zu jedem Punkt $x [mm] \in [/mm] Y$ eine offene Umgebung $U(x)$ von $x$ gibt so, dass $U(x)$ nur endlich viele Punkte der Folge enthaelt.
Jetzt benutz mal die Ueberdeckungseigenschaft.
LG Felix
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