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hi zusammen,
Hat jemand für die folgende Aufgabe einen Lösungsansatz, oder irgendwie eine Art, wie ich das zeigen kann??
Es sei X ein metrischer Raum, [mm] (f_{n}) [/mm] eine Folge von Funktionen [mm] f_{n} [/mm] : X [mm] \to \IR. [/mm] Die Folge sei lokal gleichmäßig konvergent, d.h., zu jedem x [mm] \in [/mm] X existiert eine Umgebung U von x, so dass [mm] (f_{n}) [/mm] auf U gleichmäßig konvergiert. Zeigen Sie, dass für jede kompakte Menge K [mm] \subset [/mm] X die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] in K gleichmäßig konvergiert.
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gibt es für ale $x [mm] \in [/mm] K$ eine Umgebung $U(x)$ und ein [mm] $n_0(x) \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\Vert f_n [/mm] - [mm] f\Vert_{U(x)} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge n_0(x)$.
[/mm]
Da $K$ kompakt ist, kannst du $K$ mit endlich vielen solcher Umgebungen [mm] $U(x_1),\ldots,U(x_n)$ [/mm] mit [mm] $x_1,\ldots,x_n \in [/mm] K$ überdecken.
Wie könnte man dann [mm] $n_0$ [/mm] wählen, so dass
[mm] $\Vert f_n [/mm] - [mm] f\Vert_{K} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge n_0$?
[/mm]
Hast du eine Idee? 
Viele Grüße
Stefan
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